【BZOJ3143】游走（高斯消元，数学期望）

【BZOJ3143】游走（高斯消元，数学期望）

题面

BZOJ

题解

首先，概率不会直接算。。。

所以来一个逼近法算概率

这样就可以求出每一条边的概率

随着走的步数的增多，答案越接近

（我卡到\(5000\)步可以拿\(50\)分）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 520
#define MAXL 500000
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next;}e[MAXL];
int h[MAX],cnt=2;
int n,m,op[MAX];
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;op[u]++;}
double V[MAX*MAX];
double f[2][MAX];
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read(),v=read();
		Add(u,v);Add(v,u);
	}
	f[0][1]=1;
	for(int st=1,nw=1,nt=0;st<=5000;++st,nw^=1,nt^=1)
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)f[nw][i]=0;
		for(int u=1;u<n;++u)
			for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
				V[i>>1]+=f[nt][u]/op[u],f[nw][e[i].v]+=f[nt][u]/op[u];
	}
	sort(&V[1],&V[m+1]);
	double ans=0;
	for(int i=m;i;--i)
		ans+=i*V[m-i+1];
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}

这样子算出来会有精度问题

所以就挂了

现在考虑怎么算这个概率

显然不能\(dp\)

那么，看看每一个点的概率是怎么来的

\[f[i]=\sum_{edge(u,i)}\frac{f[u]}{op[u]}
\]

其中,\(op[u]\)是\(u\)的出度

那么，现在我有\(n\)个未知数（每个的概率）

以及\(n\)个方程（每个点的概率就是怎么算出来的）

大力用高斯消元解一下就好了

算出来之后贪心

就没有问题啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 520
#define MAXL 500000
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line{int v,next;}e[MAXL];
int h[MAX],cnt=2;
int n,m,op[MAX];
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;op[u]++;}
double V[MAX*MAX];
double g[MAX][MAX];
double f[MAX];
void Build()
{
	for(int i=1;i<=n;++i)g[i][i]=1;
	for(int u=1;u<n;++u)
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
			g[e[i].v][u]-=1.0/op[u];
	g[1][n+1]=1;
}
void Guess()
{
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		double bs=g[i][i];
		for(int j=1;j<=n+1;++j)g[i][j]/=bs;
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
		{
			bs=g[j][i];
			for(int k=1;k<=n+1;++k)
				g[j][k]-=g[i][k]*bs;
		}
	}
	for(int i=n;i;--i)
	{
		f[i]=g[i][n+1];
		for(int j=i-1;j;--j)
			g[j][n+1]-=f[i]*g[j][i];
	}
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u=read(),v=read();
		Add(u,v);Add(v,u);
	}
	Build();Guess();
	for(int u=1;u<n;++u)
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
			V[i>>1]+=f[u]/op[u];
	double ans=0;
	sort(&V[1],&V[m+1]);
	for(int i=m;i;--i)
		ans+=i*V[m-i+1];
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}