【CF865C】Gotta Go Fast

题意:有n个关卡需要依次通过,第i关有pi的概率要花ai时间通过,有1-pi的概率要花bi时间通过,你的目标是花费不超过m的时间通关,每一关开始时你都可以选择进行这个关卡或是重新开始。问你达成目标的最短期望总时间(假设你是绝顶聪明的)。

n<=50,m<=5000。

题解:设f[i][j]表示已经完成了前i关,用了j的时间,期望的通关最小总时间。那么每一关开始时你都可以选择打或不打,所以得到DP方程:

f[i-1][j]=min(f[0][0],(f[j+ai]+ai)*pi+(f[j+bi]+bi)*(1-pi))

但是问题来了,我们现在还不知道f[0][0]的值,怎么办?

我们可以二分!容易发现,当我们假定的f[0][0]比真正值大时,算出来的f[0][0]要比假定值小,反之比假定值大。这个原理感觉和分数规划的思想差不多。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
double f[55][5110];
int n,m;
int a[55],b[55];
double p[55];
bool check(double mid)
{
int i,j;
for(i=0;i<=n;i++) for(j=0;j<=m+100;j++) f[i][j]=mid;
for(j=0;j<=m;j++) f[n][j]=0;
for(i=n;i>=1;i--)
{
for(j=0;j<=m;j++)
{
f[i-1][j]=min(mid,(f[i][j+a[i]]+a[i])*p[i]+(f[i][j+b[i]]+b[i])*(1-p[i]));
}
}
return f[0][0]<mid;
}
inline int rd()
{
int ret=0,f=1; char gc=getchar();
while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-') f=-f; gc=getchar();}
while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar();
return ret*f;
}
int main()
{
n=rd(),m=rd();
int i;
double l=0,r=34751706,mid;
for(i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(),b[i]=rd(),p[i]=rd()*0.01;
for(i=1;i<=60;i++)
{
mid=(l+r)/2;
if(check(mid)) r=mid;
else l=mid;
}
printf("%.9f",r);
return 0;
}

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