浅谈压缩感知（九）：正交匹配追踪算法OMP

主要内容：

1. OMP算法介绍
2. OMP的MATLAB实现
3. OMP中的数学知识

一、OMP算法介绍

来源：http://blog.csdn.net/scucj/article/details/7467955

1、信号的稀疏表示(sparse representation of signals)

给定一个过完备字典矩阵，其中它的每列表示一种原型信号的原子。给定一个信号y，它可以被表示成这些原子的稀疏线性组合。信号 y 可以被表达为 y = Dx ，或者。字典矩阵中所谓过完备性，指的是原子的个数远远大于信号y的长度(其长度很显然是n)，即n<<k。

2、MP算法(匹配追踪算法)

2.1 算法描述

作为对信号进行稀疏分解的方法之一，将信号在完备字典库上进行分解。

假定被表示的信号为y，其长度为n。假定H表示Hilbert空间，在这个空间H里，由一组向量构成字典矩阵D，其中每个向量可以称为原子(atom)，其长度与被表示信号 y 的长度n相同，而且这些向量已作为归一化处理，即|，也就是单位向量长度为1。MP算法的基本思想：从字典矩阵D（也称为过完备原子库中），选择一个与信号 y 最匹配的原子(也就是某列)，构建一个稀疏逼近，并求出信号残差，然后继续选择与信号残差最匹配的原子，反复迭代，信号y可以由这些原子来线性和，再加上最后的残差值来表示。很显然，如果残差值在可以忽略的范围内，则信号y就是这些原子的线性组合。如果选择与信号y最匹配的原子？如何构建稀疏逼近并求残差？如何进行迭代？我们来详细介绍使用MP进行信号分解的步骤：[1] 计算信号 y 与字典矩阵中每列(原子)的内积，选择绝对值最大的一个原子，它就是与信号 y 在本次迭代运算中最匹配的。用专业术语来描述：令信号，从字典矩阵中选择一个最为匹配的原子，满足，r0 表示一个字典矩阵的列索引。这样，信号 y 就被分解为在最匹配原子的垂直投影分量和残值两部分，即：。[2]对残值R1f进行步骤[1]同样的分解，那么第K步可以得到：

， 其中 满足。可见，经过K步分解后，信号 y 被分解为：，其中。

2.2 继续讨论

(1)为什么要假定在Hilbert空间中？Hilbert空间就是定义了完备的内积空。很显然，MP中的计算使用向量的内积运算，所以在在Hilbert空间中进行信号分解理所当然了。什么是完备的内积空间？篇幅有限就请自己搜索一下吧。

(2)为什么原子要事先被归一化处理了，即上面的描述。内积常用于计算一个矢量在一个方向上的投影长度，这时方向的矢量必须是单位矢量。MP中选择最匹配的原子是，是选择内积最大的一个，也就是信号(或是残值)在原子(单位的)垂直投影长度最长的一个，比如第一次分解过程中，投影长度就是。，三个向量，构成一个三角形，且和正交（不能说垂直，但是可以想象二维空间这两个矢量是垂直的）。

(3)MP算法是收敛的，因为，和正交，由这两个可以得出，得出每一个残值比上一次的小，故而收敛。

2.3 MP算法的缺点

如上所述，如果信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的，这会使得每次迭代的结果并不少最优的而是次最优的，收敛需要很多次迭代。举个例子说明一下：在二维空间上，有一个信号 y 被 D=[x1, x2]来表达，MP算法迭代会发现总是在x1和x2上反复迭代，即，这个就是信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影的非正交性导致的。再用严谨的方式描述[1]可能容易理解:在Hilbert空间H中，，，定义，就是它是这些向量的张成中的一个，MP构造一种表达形式：;这里的Pvf表示 f在V上的一个正交投影操作，那么MP算法的第 k 次迭代的结果可以表示如下(前面描述时信号为y，这里变成f了，请注意)：

如果  是最优的k项近似值，当且仅当。由于MP仅能保证，所以一般情况下是次优的。这是什么意思呢？是k个项的线性表示，这个组合的值作为近似值，只有在第k个残差和正交，才是最优的。如果第k个残值与正交，意味这个残值与fk的任意一项都线性无关，那么第k个残值在后面的分解过程中，不可能出现fk中已经出现的项，这才是最优的。而一般情况下，不能满足这个条件，MP一般只能满足第k个残差和xk正交，这也就是前面为什么提到"信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的"的原因。如果第k个残差和fk不正交，那么后面的迭代还会出现fk中已经出现的项，很显然fk就不是最优的，这也就是为什么说MP收敛就需要更多次迭代的原因。不是说MP一定得到不到最优解，而且其前面描述的特性导致一般得到不到最优解而是次优解。那么，有没有办法让第k个残差与正交，方法是有的，这就是下面要谈到的OMP算法。

3、OMP算法

3.1 算法描述

OMP算法的改进之处在于：在分解的每一步对所选择的全部原子进行正交化处理，这使得在精度要求相同的情况下，OMP算法的收敛速度更快。

那么在每一步中如何对所选择的全部原子进行正交化处理呢？在正式描述OMP算法前，先看一点基础思想。

先看一个 k  阶模型，表示信号 f 经过 k 步分解后的情况，似乎很眼熟，但要注意它与MP算法不同之处，它的残值与前面每个分量正交，这就是为什么这个算法多了一个正交的原因，MP中仅与最近选出的的那一项正交。

(1)

k + 1 阶模型如下：

(2)

应用 k + 1阶模型减去k 阶模型，得到如下：

(3)

我们知道，字典矩阵D的原子是非正交的，引入一个辅助模型，它是表示对前k个项的依赖，描述如下：

(4)

和前面描述类似，在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，后面的项是残值。这个关系用数学符号描述：

请注意，这里的 a 和 b 的上标表示第 k 步时的取值。

将(4)带入(3)中，有：

（5）

如果一下两个式子成立，(5)必然成立。

(6)

(7)

令，有

其中。

ak的值是由求法很简单，通过对(7)左右两边添加作内积消减得到：

后边的第二项因为它们正交，所以为0，所以可以得出ak的第一部分。对于，在（4）左右两边中与作内积，可以得到ak的第二部分。

对于(4)，可以求出，求的步骤请参见参考文件的计算细节部分。为什么这里不提，因为后面会介绍更简单的方法来计算。

3.2 收敛性证明

通过(7)，由于与正交，将两个残值移到右边后求二范的平方，并将ak的值代入可以得到：

可见每一次残差比上一次残差小，可见是收敛的。

3.3 算法步骤

整个OMP算法的步骤如下：

由于有了上面的来龙去脉，这个算法就相当好理解了。

到这里还不算完，后来OMP的迭代运算用另外一种方法可以计算得知，有位同学的论文[2]描述就非常好，我就直接引用进来：

对比中英文描述，本质都是一样，只是有细微的差别。这里顺便贴出网一哥们写的OMP算法的代码，源出处不得而知，共享给大家。

二、OMP的MATLAB实现

1、一维信号重建

代码：

%  -D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)
%  测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构
%  编程人--香港大学电子工程系 沙威  Email: wsha@eee.hku.hk
%  编程时间：2008年11月18日
%  文档下载: http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/freecode.htm
%  参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert
%  Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
%  Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. , NO. ,
%  DECEMBER .

clc;clear

%%  . 时域测试信号生成
K=;      %  稀疏度(做FFT可以看出来)
N=;    %  信号长度
M=;     %  测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)
f1=;    %  信号频率1
f2=;   %  信号频率2
f3=;   %  信号频率3
f4=;   %  信号频率4
fs=;   %  采样频率
ts=/fs;  %  采样间隔
Ts=:N;   %  采样序列
x=0.3*cos(*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(*pi*f4*Ts*ts);  %  完整信号,由4个信号叠加而来

%%  .  时域信号压缩传感
Phi=randn(M,N);                                   %  测量矩阵(高斯分布白噪声)*256的扁矩阵，Phi也就是文中说的D矩阵
s=Phi*x.';                                        %  获得线性测量 ，s相当于文中的y矩阵

%%  .  正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)
%匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。

m=*K;                                            %  算法迭代次数(m>=K)，设x是K-sparse的
Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N);                        %  傅里叶正变换矩阵
T=Phi*Psi';                                       %  恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)

hat_y=zeros(,N);                                 %  待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t=[];                                         %  增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=s;                                            %  残差值

for times=:m;                                    %  迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)
    for col=:N;                                  %  恢复矩阵的所有列向量
        product(col)=abs(T(:,col)'*r_n);          %  恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
    end
    [val,pos]=max(product);                       %  最大投影系数对应的位置，即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波
    Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)];                       %  矩阵扩充    

    T(:,pos)=zeros(M,);                          %  选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零），在数据中去除这个标记的所有印迹
    aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s;           %  最小二乘,使残差最小
    r_n=s-Aug_t*aug_y;                            %  残差
    pos_array(times)=pos;                         %  纪录最大投影系数的位置
end
hat_y(pos_array)=aug_y;                           %  重构的谱域向量
hat_x=real(Psi'*hat_y.');                         %  做逆傅里叶变换重构得到时域信号

%%  .  恢复信号和原始信号对比
figure();
hold on;
plot(hat_x,'k.-')                                 %  重建信号
plot(x,'r')                                       %  原始信号
legend('Recovery','Original')
norm(hat_x.'-x)/norm(x)                           %  重构误差

结果：

2、二维信号重建

代码：

%  本程序实现图像LENA的压缩传感
%  程序作者：沙威，香港大学电气电子工程学系，wsha@eee.hku.hk
%  算法采用正交匹配法，参考文献 Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert
%  Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
%  Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. , NO. ,
%  DECEMBER .
%  该程序没有经过任何优化

function Wavelet_OMP

clc;clear

%  读文件
X=imread('lena256.bmp');
X=double(X);
[a,b]=size(X);

%  小波变换矩阵生成
ww=DWT(a);

%  小波变换让图像稀疏化（注意该步骤会耗费时间，但是会增大稀疏度）
X1=ww*sparse(X)*ww';
% X1=X;
X1=full(X1);

%  随机矩阵生成
M=;
R=randn(M,a);
% R=mapminmax(R,,);
% R=round(R);

%  测量值
Y=R*X1;

%  OMP算法
%  恢复矩阵
X2=zeros(a,b);
%  按列循环
for i=:b
    %  通过OMP，返回每一列信号对应的恢复值（小波域）
    rec=omp(Y(:,i),R,a);
    %  恢复值矩阵，用于反变换
    X2(:,i)=rec;
end

%  原始图像
figure();
imshow(uint8(X));
title('原始图像');

%  变换图像
figure();
imshow(uint8(X1));
title('小波变换后的图像');

%  压缩传感恢复的图像
figure();
%  小波反变换
X3=ww'*sparse(X2)*ww;
% X3=X2;
X3=full(X3);
imshow(uint8(X3));
title('恢复的图像');

%  误差(PSNR)
%  MSE误差
errorx=sum(sum(abs(X3-X).^));
%  PSNR
psnr=*log10(*/(errorx/a/b))   

%  OMP的函数
%  s-测量；T-观测矩阵；N-向量大小
function hat_y=omp(s,T,N)
Size=size(T);                                     %  观测矩阵大小
M=Size();                                        %  测量
hat_y=zeros(,N);                                 %  待重构的谱域(变换域)向量
Aug_t=[];                                         %  增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=s;                                            %  残差值

for times=:M;                                  %  迭代次数(稀疏度是测量的1/)
    for col=:N;                                  %  恢复矩阵的所有列向量
        product(col)=abs(T(:,col)'*r_n);          %  恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
    end
    [val,pos]=max(product);                       %  最大投影系数对应的位置
    Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)];                       %  矩阵扩充
    T(:,pos)=zeros(M,);                          %  选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零）
    aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s;           %  最小二乘,使残差最小
    r_n=s-Aug_t*aug_y;                            %  残差
    pos_array(times)=pos;                         %  纪录最大投影系数的位置

    if (norm(r_n)<0.9)                            %  残差足够小
        break;
    end
end
hat_y(pos_array)=aug_y;                           %  重构的向量

结果：

三、OMP算法中的数学知识

算法会有一些线性代数中的概念和知识，主要是关于子空间、最小二乘、投影矩阵等，详情请参考

最小二乘的几何意义及投影矩阵