BZOJ4897: [Thu Summer Camp2016]成绩单【DP of DP】

Description

期末考试结束了，班主任L老师要将成绩单分发到每位同学手中。L老师共有n份成绩单，按照编号从1到n的顺序叠

放在桌子上，其中编号为i的成绩单分数为w_i。成绩单是按照批次发放的。发放成绩单时，L老师会从当前的一叠

成绩单中抽取连续的一段，让这些同学来领取自己的成绩单。当这批同学领取完毕后，L老师再从剩余的成绩单中

抽取连续的一段，供下一批同学领取。经过若干批次的领取后，成绩单将被全部发放到同学手中。然而，分发成绩

单是一件令人头痛的事情，一方面要照顾同学们的心理情绪，不能让分数相差太远的同学在同一批领取成绩单；另

一方面要考虑时间成本，尽量减少领取成绩单的批次数。对于一个分发成绩单的方案，我们定义其代价为：

其中，k是方案中分发成绩单的批次数，对于第i批分发的成绩单，〖max〗_i是最高分数，〖min〗_i是最低分数。

a,b是给定的评估参数。现在，请你帮助L老师找到代价最小的分发成绩单的方案，并将这个最小的代价告诉L老师

。当然，分发成绩单的批次数k是由你决定的。

Input

第一行包含一个正整数n，表示成绩单的数量。

第二行包含两个非负整数a,b，表示给定的评估参数。

第三行包含n个正整数w_i，表示第i张成绩单上的分数。

Output

仅一个正整数，表示最小的代价是多少。

Sample Input

10

3 1

7 10 9 10 6 7 10 7 1 2

Sample Output

15

【样例数据说明】

第1批：第2至4份成绩单，落差值为1，剩余成绩单为76710712；

第2批：第4份成绩单，落差值为0，剩余成绩单为767712；

第3批：第1至4份成绩单，落差值为1，剩余成绩单为12；

第4批：剩余的2份成绩单，落差值为1。

总代价为4×3+(1²⁺⁰2+1²⁺¹2)×1=15。

HINT

n<=50, a<=100, b<=10, w_i<=1000

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思路

首先考虑dp

\(f_{l,r}\)表示把区间\([l,r]\)的所有成绩单删除的代价

然后就不会了，考虑整个区间，要么递归成两个子区间分别处理，或者直接考虑这个区间的最后一次删除

那么最后一次删除的如果是\([p,q]\)这个区间的数，记录\(g_{l,r,p,q}\)表示区间\([l,r]\)最后只剩下\([p,q]\)的最小代价

然后f的转移可以枚举\(p,q\)从g转移也可以划分成两个区间递归成f转移

g可以划分成两个区间，分别从\(g_{l,k,p,q}+g_{k+1,r,p,q},g_{l,k,p,q}+f_{k+1,r},f_{l,k}+g_{k+1,r,p,q}\)转移

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 51;
const int INF_of_int = 1e8;

int f[N][N], g[N][N][N][N];
int a, b, n, m, w[N], pre[N];

int getg(int l, int r, int down, int up);
int getf(int l, int r);

int getg(int l, int r, int down, int up) {
  if (~g[l][r][down][up]) return g[l][r][down][up];
  if (l == r) return g[l][r][down][up] = (down <= w[l] && w[l] <= up) ? 0 : INF_of_int;
  int &cur = g[l][r][down][up];
  cur = INF_of_int;
  for (int k = l; k < r; k++) {
    cur = min(cur, getg(l, k, down, up) + getg(k + 1, r, down, up));
    cur = min(cur, getg(l, k, down, up) + getf(k + 1, r));
    cur = min(cur, getf(l, k) + getg(k + 1, r, down, up));
  }
  return cur;
}

int getf(int l, int r) {
  if (~f[l][r]) return f[l][r];
  if (l == r) return f[l][r] = a;
  int &cur = f[l][r];
  cur = INF_of_int;
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    for (int j = i; j <= m; j++)
      cur = min(cur, getg(l, r, i, j) + a + b * (pre[j] - pre[i]) * (pre[j] - pre[i]));
  for (int k = l; k < r; k++)
    cur = min(cur, getf(l, k) + getf(k + 1, r));
  return cur;
}

int main() {
#ifdef dream_maker
  freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
  memset(f, -1, sizeof(f));
  memset(g, -1, sizeof(g));
  scanf("%d %d %d", &n, &a, &b);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", &w[i]);
    pre[i] = w[i];
  }
  sort(pre + 1, pre + n + 1);
  m = unique(pre + 1, pre + n + 1) - pre - 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    w[i] = lower_bound(pre + 1, pre + m + 1, w[i]) - pre;
  printf("%d", getf(1, n));
  return 0;
}