BZOJ4872: [Shoi2017]分手是祝愿【概率期望DP】【思维好题】

Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。

接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

Output

输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0

0 0 1 1

Sample Output

512

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思路

假设没有随机

我们考虑当前的最优算法，肯定是从后往前来看有哪些需要被更新的

那么这样就很容易算出最开始我们最少需要走几步

然后是\(dp_{i}\)表示从最少i步走到最少i-1步的期望步数

我们考虑因为当前有i步都是需要走的，所以当前这一步转移到i-1的概率是\(\frac{i}{n}\)

然后就是走到i+1，概率\(1-\frac{i}{n}\)，期望步数可以从\(dp_{i+1}\)转移

总的转移是\(dp_{i}=\frac{i}{n}+(1-\frac{i}{n})*(1+dp_{i}+dp_{i+1})\)

移项消元得到\(dp_{i}=\frac{n+(n-i)*dp_{i+1}}{i}\)

然后就做完了，前缀和累加就行了

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int Mod = 1e5 + 3;
const int N = 1e5 + 10;

int n, k, a[N], f[N], fac = 1;

int add(int a, int b) {
  return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a;
}

int sub(int a, int b) {
  return (a -= b) < 0 ? a + Mod : a;
}

int mul(int a, int b) {
  return 1ll * a * b % Mod;
}

int fast_pow(int a, int b) {
  int res = 1;
  for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a)) {
    if (b & 1) res = mul(res, a);
  }
  return res;
}

int main() {
  scanf("%d %d", &n, &k);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
    fac = mul(fac, i);
  }
  int num = 0;
  for (int i = n; i >= 1; i--) {
    for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {
      a[i] ^= a[j];
    }
    if (a[i]) ++num;
  }
  for (int i = 1; i <= k; i++) f[i] = 1;
  for (int i = n; i > k; i--) {
    f[i] = mul(add(n, mul(n - i, f[i + 1])), fast_pow(i, Mod - 2));
  }
  int ans = 0;
  for (int i = 1; i <= num; i++) {
    ans = add(ans, f[i]);
  }
  printf("%d", mul(ans, fac));
  return 0;
}