GMA Round 1 最大值

传送门

最大值

求$f(x)=cos(x)+\sqrt{cos^2(x)-4\sqrt{3}cos(x)+4\sqrt{2}sin(x)+10}$的最大值。保留到小数点后3位。

　　$f(x)+\sqrt{3}$

　　$=\sqrt{cos^2x+2\sqrt{3}x+3}+\sqrt{cos^2x-4\sqrt{3}cos+4\sqrt{2}sinx+10}$

　　$=\sqrt{3cos^2x+2\sqrt{3}x+2sin^2x+1}+\sqrt{3cos^2x-4\sqrt{3}cosx+4sqrt{2}sinx+2sin^2x+8}$

　　$=\sqrt{(\sqrt{3}cosx+1)^2+(\sqrt{2}sinx)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}cosx-2)^2+(\sqrt{2}sinx+2)^2}$

　　设$P(\sqrt{3}cosx,\sqrt{2}sinx)$，$F_1(-1,0)$,$F_2(1,0)$,$A(2,-2)$。P的轨迹是以$F_1$、$F_2$为焦点的椭圆。

　　$f(x)+\sqrt{3}=|PA|+|PF_1|=|PA|+2a-|PF_2|≤2a+|AF_2|=2\sqrt{3}+\sqrt{5}$因此$f(x)≤\sqrt{3}+\sqrt{5}$

　　定位：中等题