洛谷P1776 宝物筛选_NOI导刊2010提高（02）（多重背包，单调队列）

为了学习单调队列优化DP奔向了此题。。。

基础的多重背包就不展开了。设\(f_{i,j}\)为选前\(i\)个物品，重量不超过\(j\)的最大价值，\(w\)为重量，\(v\)为价值（蒟蒻有强迫症，特别不喜欢把\(v\)和\(w\)反着搞，\(weight\)和\(value\)嘛！），直接给转移方程

\[f_{i,j}=\max\{f_{i-1,j-kw_i}+kv_i\},k\in[0,min\{m,\lfloor \frac j{w_i}\rfloor\}]
\]

显然，\(f_i\)都是从\(f_{i-1}\)转过来的，所以第一维可以滚掉，得到每次转移的更简化的方程

\[f_j=\max\{f_{j-kw}+kv\}
\]

这样是\(O(nmW)\)的，还是要想办法优化。

众所周知，DP优化的根本原则是去掉无用的状态、利用重复转移的状态。可是这方程一眼根本看不出什么可优化的地方啊。。。。。。

我们要像这位Dalao一样善于发现，他的blog

所以，不管这个想法是怎么来的，我们先把\(j\)按模\(i\)意义下分组，设\(j=k_1w+d\)，那么一组里的\(d\)都是同一个值。

然后方程就变成了这样

\[f_j=\max\{f_{k_1w+d-kw}+kv\}
\]

\[\qquad\qquad\quad=\max\{f_{(k_1-k)w+d}-(k_1-k)v\}+k_1v
\]

突然看到了\(k_1-k\)的重复出现！这也就意味着，在每一组中，有意义的状态只有\(\lfloor\frac{W-d}w\rfloor\)种！（\(W\)是最大载重）每次总的状态也就只有\(O(W)\)了。

设\(g_k=f_{kw+d}-kv\)。那么因为有\(m\)的限制，所以对于每个\(k_1\)，我们需要且只能从\(max\{g_k|k\in[\max\{0,k_1-m\},k_1]\}\)转移。对于这样的转移，可以形象地和滑动窗口联系一下，相当于有一个宽度为\(m\)的窗口从一边一步步往另一边移动，每移一次都要取出窗口内的最大值。这个就上单调队列维护。

首先枚举\(d\)。接着，为了方便滚动，我们从大到小枚举\(k\)和\(k_1\)，用一个单调队列维护下标在\([k_1-m,k_1]\)范围内的依次递减的若干个\(g\)值，因为显然如果有\(g_x\geq g_y,x<y\)的话\(g_y\)是没有用的。枚举\(k_1\)时，每次队首元素超出了范围就把它出队。用现在的队首更新\(f_j\)即\(f_{k_1w+d}\)。接着下一个元素\(g_{k_1-m-1}\)要入队了，把队尾\(g\)比这个小的全出队，再让它进来。最后输出\(f_W\)即可。

这样就是\(O(nW)\)的了，比二进制拆分难理解些但是更优秀了。

结合代码理解会更轻松哦

#include<cstdio>
#define RG register
#define R RG int
#define G c=getchar()
const int N=1e5+9;
int f[N],g[N],q[N];
inline int in(){
	RG char G;
	while(c<'-')G;
	R x=c&15;G;
	while(c>'-')x=x*10+(c&15),G;
	return x;
}
inline int max(R x,R y){return x>y?x:y;}
inline void chkmx(R&x,R y){if(x<y)x=y;}
int main(){
	R n=in(),maxw=in(),maxk,lim,v,w,m,d,i,k,k1,h,t,now;
	for(i=1;i<=n;++i){
		v=in();w=in();m=in();
		for(d=0;d<w;++d){//枚举余数
			maxk=(maxw-d)/w;lim=max(maxk-m,0);//先确定最初的范围
			for(t=0,k=maxk-1;k>=lim;--k){//窗口先扩大宽度到m
				now=f[k*w+d]-k*v;
				while(t&&g[t]<=now)--t;//维护单调性
				g[++t]=now;q[t]=k;
			}
			for(h=1,k1=maxk;~k1;--k1,--k){//可以开始转移了
				if(h<=t&&q[h]>=k1)++h;//接着移动
				if(h<=t)chkmx(f[k1*w+d],g[h]+k1*v);//转移
				if(k<0)continue;//注意窗口可能已经出正数范围了
				now=f[k*w+d]-k*v;
				while(h<=t&&g[t]<=now)--t;//维护单调性
				g[++t]=now;q[t]=k;
			}
		}
	}
	printf("%d\n",f[maxw]);
	return 0;
}