洛谷P1516 青蛙的约会（扩展欧几里德）

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很容易想到，如果他们相遇，他们初始的位置坐标之差\(x-y\)和跳的距离\((n-m)t\)（设\(t\)为跳的次数）之差应该是模纬线长\(l\)同余的，即\((n-m)t\equiv x-y(\bmod l)\)

转化一下，不就变成了让我们求一个不定方程\((n-m)t+kl=x-y(k\in \mathbb Z)\)中\(t\)的最小非负整数解么？

设\(a=n-m,b=l,c=x-y\)，把它转化成我们比较熟悉的一般不定方程的形式\(ax+by=c\)（此式的\(x,y\)与题目给的坐标意义不同）

首先，设\(g=\gcd(a,b)\)我们可以通过扩欧求出\(ax_0+by_0=g\)中\(x_0\)的一个解

这时，因为\(\frac{ax+by}g\)为整数，所以\(\frac c g\)也必须是整数，否则无解

否则，等式两边同乘\(\frac cg\)，得\(a\frac{cx_0}g+b\frac{cy_0}{g}=c\)

那么，\(x=\frac{cx_0}g\)就是\(ax+by=c\)中\(x\)的一个解

如何由一个解得到其它解呢？有一个恒等式\(a(x+db)+b(y-da)=c\)

在保证\(db,da\)都是整数的情况下，我们让\(d\)最小，就可以得到所有的整数解，那么\(d=\frac 1g\)

如果解出的\(x>0\)，那么最小非负整数解等于\(x\bmod\frac b g\)；否则等于\(x\bmod\frac b g+\frac b g\)

代码就可以直接写(x%(b/g)+b/g)%(b/g)

然后就可以交上去了，发现获得了70分

怎么回事？因为\(\gcd\)只对非负整数有意义，所以如果\(a<0\)等式两边要同时取负，\(a,c\)都要变成相反数；\(b\)本来就是正数，不用变也不能变。

总之，虽然是裸的exgcd题，但是很容易被细节实现坑到，尤其是求最小非负整数解和处理\(a\)为负数的地方。

#include<cstdio>
#define LL long long
LL x,y,m,n,l,a,b,c,x0,y0,g,tmp;
void exgcd(LL a,LL b){
	if(!b){x0=1;g=a;return;}//顺便求gcd
	exgcd(b,a%b);
	tmp=x0;x0=y0;y0=tmp-a/b*y0;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
	a=n-m;b=l;c=x-y;
	if(a<0)a=-a,c=-c;//处理a为负数情况
	exgcd(a,b);
	if(c%g)puts("Impossible");
	else printf("%lld\n",(c/g*x0%(b/g)+b/g)%(b/g));//求最小非负整数解
	return 0;
}