题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数?为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数(从1 到 n 中1出现的次数)。

题目地址

https://www.nowcoder.com/practice/bd7f978302044eee894445e244c7eee6?tpId=13&tqId=11184&tPage=2&rp=2&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking

思路

思路1

从1到n遍历。对每一个数字,每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1,大于10的除以10之后再判断,我们对每个数字都要做求余和除法运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n,n有O(logn)位,我们需要判断每一位是不是1,那么时间复杂度为O(n*logn)。

思路2

考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论,每一位的值记为weight。

1) 个位

从1到n,每增加1,weight就会加1,当weight加到9时,再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢?这取决于n的高位是多少,看图:

以534为例,在从1增长到n的过程中,534的个位从0-9变化了53次,记为round。每一轮变化中,1在个位出现一次,所以一共出现了53次。

再来看weight的值。weight为4,大于0,说明第54轮变化是从0-4,1又出现了1次。我们记1出现的次数为count,所以:

count = round+1 = 53 + 1 = 54

如果此时weight为0(n=530),说明第54轮到0就停止了,那么:

count = round = 53

2) 十位

对于10位来说,其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的,见图:

不同点在于:从1到n,每增加10,十位的weight才会增加1,所以,一轮0-9周期内,1会出现10次。即rount*10。

再来看weight的值。当此时weight为3,大于1,说明第6轮出现了10次1,则:

count = round*10+10 = 5*10+10 = 60

如果此时weight的值等于0(n=504),说明第6轮到0就停止了,所以:

count = round*10+10 = 5*10 = 50

如果此时weight的值等于1(n=514),那么第6轮中1出现了多少次呢?很明显,这与个位数的值有关,个位数为k,第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former,则:

count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55

3) 更高位

更高位的计算方式其实与十位是一致的,不再阐述。

4) 总结

将n的各个位分为两类:个位与其它位。

对个位来说:

  • 若个位大于0,1出现的次数为round*1+1
  • 若个位等于0,1出现的次数为round*1

对其它位来说,记每一位的权值为base,位值为weight,该位之前的数是former,举例如图:

则:

  • 若weight为0,则1出现次数为round*base
  • 若weight为1,则1出现次数为round*base+former+1
  • 若weight大于1,则1出现次数为rount*base+base

比如:

  • 534 = (个位1出现次数)+(十位1出现次数)+(百位1出现次数)=(53*1+1)+(5*10+10)+(0*100+100)= 214
  • 530 = (53*1)+(5*10+10)+(0*100+100) = 213
  • 504 = (50*1+1)+(5*10)+(0*100+100) = 201
  • 514 = (51*1+1)+(5*10+4+1)+(0*100+100) = 207
  • 10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2

Python

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
# write code here
# res = 0
# for i in range(1,n+1):
# while i:
# if i%10 == 1:
# res += 1
# i //= 10
# return res
# 思路2
if n < 1:
return 0
count, base, Round = 0,1,n
while Round > 0:
weight = Round%10
Round //= 10
count += Round*base
if weight == 1:
count += n%base+1
elif weight>1:
count += base
base *= 10
return count if __name__ == '__main__':
result = Solution().NumberOf1Between1AndN_Solution(13)
print(result)

参考

https://blog.csdn.net/yi_afly/article/details/52012593

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