【bzoj3669】[Noi2014]魔法森林 Kruskal+LCT

原文地址：http://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/6797748.html

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题目描述

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

输入

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

输出

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

样例输入

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1

样例输出

【输出样例1】
32
【输出样例2】
-1

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题解

Kruskal+LCT

题目中给定的二维，可以先排序，按照第一维递增顺序加边权为第二维的边，不断维护最小生成树（或最小生成森林）。

对于每条要加的边，判断它两个端点是否连通。

不连通则直接加边，连通则找出路径上最大边权，再比较当前边的第二维和最大边权的大小决定是否加边。

这可以用LCT来维护。

然而LCT很难处理边权，于是可以换一种方法，link(x,y)改为link(x,tmp),link(y,tmp)，并将tmp的点权赋为x到y的边权。

加边以后再判断点1和点n是否连通，并计算答案。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 150010
#define lson c[0][x]
#define rson c[1][x]
using namespace std;
struct data
{
	int x , y , b , d;
}a[N];
int fa[N] , c[2][N] , w[N] , maxp[N] , rev[N];
bool cmp(data a , data e)
{
	return a.b < e.b;
}
void pushup(int x)
{
	maxp[x] = x;
	if(w[maxp[x]] < w[maxp[lson]]) maxp[x] = maxp[lson];
	if(w[maxp[x]] < w[maxp[rson]]) maxp[x] = maxp[rson];
}
void pushdown(int x)
{
	if(rev[x])
	{
		swap(c[0][lson] , c[1][lson]);
		swap(c[0][rson] , c[1][rson]);
		rev[lson] ^= 1 , rev[rson] ^= 1;
		rev[x] = 0;
	}
}
bool isroot(int x)
{
	return c[0][fa[x]] != x && c[1][fa[x]] != x;
}
void update(int x)
{
	if(!isroot(x)) update(fa[x]);
	pushdown(x);
}
void rotate(int x)
{
	int y = fa[x] , z = fa[y] , l = (c[1][y] == x) , r = l ^ 1;
	if(!isroot(y)) c[c[1][z] == y][z] = x;
	fa[x] = z , fa[y] = x , fa[c[r][x]] = y , c[l][y] = c[r][x] , c[r][x] = y;
	pushup(y) , pushup(x);
}
void splay(int x)
{
	update(x);
	while(!isroot(x))
	{
		int y = fa[x] , z = fa[y];
		if(!isroot(y))
		{
			if((c[0][y] == x) ^ (c[0][z] == y)) rotate(x);
			else rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
}
void access(int x)
{
	int t = 0;
	while(x) splay(x) , rson = t , pushup(x) , t = x , x = fa[x];
}
int find(int x)
{
	access(x) , splay(x);
	while(lson) pushdown(x) , x = lson;
	return x;
}
void makeroot(int x)
{
	access(x) , splay(x);
	swap(lson , rson) , rev[x] ^= 1;
}
void link(int x , int y)
{
	makeroot(x) , fa[x] = y;
}
void cut(int x , int y)
{
	makeroot(x) , access(y) , splay(y) , c[0][y] = fa[x] = 0 , pushup(y);
}
void split(int x , int y)
{
	makeroot(y) , access(x) , splay(x);
}
int main()
{
	int n , m , i , ans = 0x7fffffff , t;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) maxp[i] = i;
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d%d%d" , &a[i].x , &a[i].y , &a[i].b , &a[i].d);
	sort(a + 1 , a + m + 1 , cmp);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
	{
		if(find(a[i].x) != find(a[i].y)) w[n + i] = a[i].d , maxp[n + i] = n + i , link(a[i].x , n + i) , link(a[i].y , n + i);
		else
		{
			split(a[i].x , a[i].y) , t = maxp[a[i].x];
			if(w[t] > a[i].d) cut(t , a[t - n].x) , cut(t , a[t - n].y) , w[n + i] = a[i].d , maxp[n + i] = n + i , link(a[i].x , n + i) , link(a[i].y , n + i);
		}
		if(find(1) == find(n)) split(1 , n) , ans = min(ans , a[i].b + w[maxp[1]]);
	}
	printf("%d\n" , ans == 0x7fffffff ? -1 : ans);
	return 0;
}