Luogu 1006 传纸条 / NOIP 2008 传纸条（动态规划）

Description

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

Input

输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

Output

输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

Sample Input

3 3

0 3 9

2 8 5

5 7 0

Sample Output

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1006

Source

动态规划

解决思路

这道题是要求两条最优路径，那么至于从那边出发无所谓，设F[a][b][c][d]表示第一条走到(a,b)，第二条走到(c,d)那么动态转移方程有（注意ab，cd的情况）：

设横竖方向上的坐标变化分别为

F1[4]={0,0,1,-1}

F2[4]={1,-1,0,0}

\[F[a][b][c][d]=\begin{cases} \\ F[a+F1[i]][b+F2[i]][c+F1[j]][d+F2[j]]+Value[a+F1[i]][b+F2[i]]+Value[c+F1[j]][d+F2[j]] & \text{(a+F1[i]!=c+F1[j]&&b+F2[i]!=d+F2[j])} \\ F[a+F1[i]][b+F2[i]][c+F1[j]][d+F2[j]]+Value[a+F1[i]][b+F2[i]] & \text{(a+F1[i]==c+F1[j]&&b+F2[i]!=d+F2[j])} \end{cases}
\]

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

using namespace std;

int n,m;

int f[51][51][51][51]={0};

int map[100][100]={0};

int max(int a,int b,int c,int d);

int main()

{

    int i,j,k,l;

    int a,b,c;

    cin>>n>>m;

    for (int i=1;i<=n;i++)

        for (int j=1;j<=m;j++)

            cin>>map[i][j];

    f[1][1][1][1]=map[1][1];

    for (i=1;i<=n;i++)

        for (j=1;j<=m;j++)

            for (k=1;k<=n;k++)

                for (l=1;l<=m;l++)

                {

                    a=max(f[i-1][j][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k-1][l],f[i][j-1][k][l-1]);

                    if ((i==k)&&(j==l))

                        f[i][j][k][l]=map[i][j]+a;

                    else

                        f[i][j][k][l]=a+map[i][j]+map[k][l];

                }

    cout<<f[n][m][n][m]<<endl;

    return 0;

}

int max(int a,int b,int c,int d)

{

    if ((a>=b)&&(a>=c)&&(a>=d))

        return a;

    else if ((b>=a)&&(b>=c)&&(b>=d))

        return b;

    else if ((c>=a)&&(c>=b)&&(c>=d))

        return c;

    else

        return d;

}