POJ 1061 青蛙的约会(欧几里得扩展)
题意:已知青蛙1位置x,速度m,青蛙2位置y,速度n,纬线长度为l,求他们相遇时最少跳跃次数。
思路:设最小跳跃次数为k,则(x + k*m) - (y + k*n) = q*l;经过整理得到k*(n-m) + q*l = x - y;此时k和l为变量。欧几里得扩展中有线性方程a*x+b*y = c,当且仅当c是gdc(a,b)的整数倍的时候,所以这个题我们可以使用这个算法求得一个x0(x0已经被乘以了倍数),故x0为满足题意的一个解,X的解系为x0 + k【b/gcd(a,b)】(具体证明不在给出,刘汝佳算法竞赛入门数论基础中有很好的证明),但是题目中要求我们要求得最小的正整数X,用到下面的定理:
若gcd(a, b) = d,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解,也就是X在这个区间内有唯一解,而且这个解就是我们想要的最优解,我们假设b/d = c,那通过
(X%r + r) % r的操作我们可以把x转化到(0,r-1)这个区间内,这就是我们要找的最优解。代码如下:
注意:其实gcd = 0的时候是需要特殊判断的,但是这个题的数据没有难为我们,我也是AC后想起来的。还有这个题数据比较大,要用long long。最后希望读者知道,等式两边正负号并不影响我们的判断。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
LL x,y;
LL ex_gcd(LL a,LL b)
{
if(b == ){
x = ;
y = ;
return a;
}
LL gcd = ex_gcd(b,a%b);///x与y求解的方法并不难,两个式子相等就可以解出来
LL tmp = x;
x = y;
y = tmp - (a/b)*y;
return gcd;
}
int main()
{
LL x1,y1,m,n,l;
while(~scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d",&x1,&y1,&m,&n,&l)){
LL a = (n-m);
LL b = l;
LL c = (x1-y1);
LL gcd = ex_gcd(a,b);
if(c % gcd != ){
puts("Impossible");
continue;
}
LL k = c / gcd;
LL tmp = b / gcd;
x = x * k;///我们需要把它扩大k倍,因为x是我们求出的最大公约数的情况。
x = (x%tmp + tmp) % tmp;///如上述操作
printf("%I64d\n",x);
}
return ;
}
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