解题：HDU 5868 Different Circle Permutation

题面

先往上套Burnside引理

既然要求没有$\frac{2*π}{n}$的角，也就是说两个人不能挨着，那么相当于给一个环黑白染色，两个相邻的点不能染白色，同时求方案数。考虑$n$个置换子群，即向一边旋转i(1<=i<=n)个单位，那么每个置换子群下循环节的长度是$lcm(i,n)/i$，那循环节数目就是$n/(lcm(i,n)/i)=gcd(i,n)$，然后式子就出来了，设$p(i)$是给长度为$i$的环染色的方案

$ans=\frac{\sum\limits_{i=1}^np(gcd(i,n))}{n}$

如果我们能快速算$p$那么枚举$d=gcd(i,n)$即可，现在考虑如何算$p$，不妨先设$dp[i][0/1]$表示染了长度为$i$的环，两边白色的点的数目为$0/1$的方案数，转移显然

$dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1],dp[i][1]=dp[i-1][0]$

可见$dp[i][0]$就是$i-1$的答案，$dp[i][1]$就是$dp[i-1][0]$也就是$i-2$的答案，所以$p[i]=p[i-1]+p[i-2]$，矩乘即可

注意$n=1$“两边”都是可以染白色的，判掉

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int mod=1e9+;
 struct a
 {
     int mat[][];
     void Clean()
     {
         memset(mat,,sizeof mat);
     }
     void Init1()
     {
         Clean();
         mat[][]=,mat[][]=;
     }
     void Init2()
     {
         Clean();
         mat[][]=mat[][]=mat[][]=;
     }
 };
 a Matime(a x,a y)
 {
     a ret; ret.Clean();
     for(int i=;i<;i++)
         for(int k=;k<;k++)
             for(int j=;j<;j++)
                 ret.mat[i][j]+=1ll*x.mat[i][k]*y.mat[k][j]%mod,ret.mat[i][j]%=mod;
     return ret;
 }
 a Maqpow(a x,int k)
 {
     if(k==) return x;
     a tmp=Maqpow(x,k/);
     return k%?Matime(x,Matime(tmp,tmp)):Matime(tmp,tmp);
 }
 int Calc(int x)
 {
     if(x==) return ;
     if(x==) return ;
     a fir,cal; fir.Init1(),cal.Init2();
     cal=Maqpow(cal,x-),fir=Matime(fir,cal);
     return fir.mat[][];
 }
 int Phi(int x)
 {
     int ret=x;
     for(int i=;i*i<=x;i++)
         if(x%i==)
         {
             ret/=i,ret*=i-;
             while(x%i==) x/=i;
         }
     if(x!=) ret/=x,ret*=x-;
     return ret;
 }
 void exGCD(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(!b) x=,y=;
     else exGCD(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
 }
 int Inv(int x)
 {
     int xx,yy;
     exGCD(x,mod,xx,yy);
     return (xx%mod+mod)%mod;
 }
 int Solve(int x)
 {
     if(x==) return ;
     int ret=;
     for(int i=;i*i<=x;i++)
         if(x%i==)
         {
             ret+=1ll*Phi(x/i)*Calc(i)%mod,ret%=mod;
             if(i*i!=x) ret+=1ll*Phi(i)*Calc(x/i)%mod,ret%=mod;
         }
     return 1ll*ret*Inv(x)%mod;
 }
 int main()
 {
     int n;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
         printf("%d\n",Solve(n));
     return ;
 }