广二模拟赛 Problem A: 青春野狼不做理性小魔女的梦 解题报告

Problem A: 青春野狼不做理性小魔女的梦

题意

给一个长为\(k\)的序列\(A\)和一个数\(n\)，给出一部分\(A_i\)的值，另一部分为\(-1\)，代表不知道这个\(A_i\)是多少，求满足\(\sum\limits_{i=1}^kA_ix_i\equiv 1\pmod m\)有整数解条件下的方案数，数是这么填的\(1\le m\le n,1 \le A_i\le m\)，填\(m\)和不知道的\(A_i\)

说明

对\(10^9+7\)取模

对所有数据\(1\le k\le 50,1\le n\le 10^9,-1\le A_i\le 10^9\)

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当时就想到了[HAOI2018]奇怪的背包

然后就知道需要\(\gcd(A_1,A_2,\dots,m)=1\)，注意要把\(A_i=0\)的先扔出去。

但是那个题是\(dp\)，把约数丢进去当状态就可以了，受到思维的影响，我就没从\(dp\)的坑里出去...成功的忽略了这个题推式子的本质。

设\(g_i\)代表模数为\(i\)时的答案

需要分情况讨论，如果所有的\(A_i=-1\)

\[\begin{aligned}
g_n&=\sum_{i_1=1}^n\sum_{i_2=1}^n\cdots\sum_{i_k=1}^n[\gcd(i_1,i_2,\dots,i_n,n)=1]\\
&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i_1=1}^n\sum_{i_2=1}^n\cdots\sum_{i_k=1}^n[d|\gcd(i_1,i_2,\dots,i_n,n)]\\
&=\sum_{d|n}\mu(d)(\frac{n}{d})^k
\end{aligned}
\]

设

\[F(n)=\sum_{i=1}^n i^k
\]

那么答案为

\[\begin{aligned}
ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)(\frac{i}{d})^k\\
&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{d|i}(\frac{i}{d})^k\\
&=\sum_{d=1}^n\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\end{aligned}
\]

前面的\(\mu\)杜教筛搞一下，后面的\(F\)拉格朗日插值搞一下，复杂度并不会算..

如果不是所有的\(A_i=-1\),设所有非\(-1\)的\(A_i\)的\(\gcd\)是\(s\)，那么式子可以推出来是

\[\sum_{d|s}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
std::unordered_map <int,int> Mu;
const int N=2e6+1;
const int mod=1e9+7;
const int M=55;
int pri[N],ispri[N],mu[N],cnt;
int k,n,A[M],fl[M],fr[M],fac[M],inv[M],py[M],s=-1;
#define add(a,b) ((a+b)%mod)
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
void init()
{
    k+=2,fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++) py[i]=add(py[i-1],qp(i,k-2)),fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    inv[k]=qp(fac[k],mod-2);
    for(int i=k-1;~i;i--) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            pri[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++)
        {
            int x=i*pri[j];
            ispri[x]=1;
            if(i%pri[j])
                mu[x]=-mu[i];
            else
                break;
        }
    }
    for(int i=2;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
int Sum(int n)
{
    if(n<N) return mu[n];
    if(Mu.find(n)!=Mu.end()) return Mu[n];
    int ret=1;
    for(int r,l=2;l<=n;l=r+1)
    {
        r=n/(n/l);
        ret-=(r+1-l)*Sum(n/l);
    }
    return Mu[n]=ret;
}
int getF(int n)//\sum_{i=1}^n i^k
{
    if(n<=k) return py[n];
    fl[0]=fr[k+1]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++) fl[i]=mul(fl[i-1],n-i);
    for(int i=k;i;i--) fr[i]=mul(fr[i+1],n-i);
    int ret=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        ret=add(ret,mul(k-i&1?-1:1,mul(py[i],mul(mul(fl[i-1],fr[i+1]),mul(inv[i-1],inv[k-i])))));
    return ret;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void work1()
{
    int ans=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
    {
        r=n/(n/l);
        ans=add(ans,mul(add(Sum(r),mod-Sum(l-1)),getF(n/l)));
    }
    ans=add(ans,mod);
    printf("%d\n",ans);
}
int getmu(int n)
{
    int ret=1;
    for(int i=1;pri[i]*pri[i]<=n;i++)
        if(n%pri[i]==0)
        {
            ret=-ret;
            n/=pri[i];
            while(n%pri[i]==0) n/=pri[i],ret=0;
        }
    if(n!=1) ret=-ret;
    return ret;
}
void work2()
{
    int ans=0,i=1;
    for(i=1;i*i<s;i++)
    {
        if(s%i) continue;
        int t=s/i;
        ans=add(ans,mul(getmu(i),getF(n/i)));
        ans=add(ans,mul(getmu(t),getF(n/t)));
    }
    if(i*i==s)
        ans=add(ans,mul(getmu(i),getF(n/i)));
    ans=add(ans,mod);
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int k_;scanf("%d%d",&k_,&n);
    for(int a,i=1;i<=k_;i++)
    {
        scanf("%d",&a);
        if(a) A[++k]=a;
    }
    std::sort(A+1,A+1+k);
    if(!k||A[k]==-1) return init(),work1(),0;//全是-1
    while(k&&~A[k]) if(~s) s=gcd(s,A[k]?A[k]:s),--k;else s=A[k--];
    init();
    work2();
    return 0;
}

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2018.12.26