poj1845（逆元+快速幂）

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-1845

题意：求A的B次方的所有因子（包括1）的和对9901的模。

思路：首先对A利用唯一分解定理得A=p1^x1*p2^x2*...*pn^xn，则A^B=p1^B*x1*p2^B*x2*...*pn^B*xn。且其所有因子的和等于：

　　　　(1+p1¹+...+p1^B*x1)*(1+p2¹+...+p2^B*x2)*...*(1+pn¹+...+pn^B*xn)。

　　　对其中的1+pi¹+...+pi^B*xi，可以用等比数列的求和公式来计算，即(pi^B*xi+1-1)/(pi-1)，需要计算除法对9901的模，所以需用逆元。注意到这里不建议使用费马小定　　　理或扩展欧基里德来求逆元，因为不能确保互斥，所以选择最方便的a/b % m=a%(b*m)/b，其中b|a。但要注意的是用快速幂时乘法可能超出LL的范围，所以用到　　　了快速乘法。

AC代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;

 typedef long long LL;
 const LL Mod=;
 int A,B;
 LL ans=,M;

 LL qmul(LL a,LL b){
     LL ret=;
     while(b){
         if(b&) ret=(ret+a)%M;
         b>>=;
         a=(a+a)%M;
     }
     return ret;
 }

 LL qpow(LL a,LL b){
     LL ret=;
     while(b){
         if(b&) ret=qmul(ret,a);
         b>>=;
         a=qmul(a,a);
     }
     return ret;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&A,&B);
     for(int i=;i*i<=A;++i){
         if(A%i==){
             int num=;
             while(A%i==){
                 A/=i;
                 ++num;
             }
             M=Mod*(i-);
             ans=ans*(qpow(i,num*B+)-1LL+M)/(i-)%Mod;
         }
     }
     if(A!=){
         M=Mod*(A-);
         ans=ans*(qpow(A,B+)-1LL+M)/(A-)%Mod;
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }