P1220 关路灯——区间dp
P1220 关路灯
题目描述
某一村庄在一条路线上安装了 \(n\) 盏路灯,每盏灯的功率有大有小(即同一段时间内消耗的电量有多有少)。老张就住在这条路中间某一路灯旁,他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。
为了给村里节省电费,老张记录下了每盏路灯的位置和功率,他每次关灯时也都是尽快地去关,但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯,然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率,然后选择先关掉功率大的一边,再回过头来关掉另一边的路灯,而事实并非如此,因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。
现在已知老张走的速度为 \(1m/s\),每个路灯的位置(是一个整数,即距路线起点的距离,单位:\(m\))、功率(\(W\)),老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。
请你为老张编一程序来安排关灯的顺序,使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少(灯关掉后便不再消耗电了)。
输入格式
第一行是两个数字 \(n\)(表示路灯的总数)和 \(c\)(老张所处位置的路灯号);
接下来 \(n\) 行,每行两个数据,表示第 \(1\) 盏到第 \(n\) 盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。
输出格式
一个数据,即最少的功耗(单位:\(J\),\(1J=1W\times s\))。
输入输出样例
输入
5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10
输出
270
说明/提示
样例解释
此时关灯顺序为 \(3,4,2,1,5\)。
数据范围
\(1\leq n\leq 50\),\(1\leq c\leq n\)。
思路
首先这是一个线性的路径,如果只是一个简单的线性 \(dp\),不好存储,所以考虑区间 \(dp\)。
当老张关完 \(i\) 到 \(j\) 的灯后,会处在 \(i\) 和 \(j\) 哪个位置呢,所以在加一维,用来表示老张所处的位置。
用 \(dp[i][j][0]\) 表示当老张关完 \(i\) 到 \(j\) 的灯后,处在 \(i\) 的位置。
用 \(dp[i][j][1]\) 表示当老张关完 \(i\) 到 \(j\) 的灯后,处在 \(j\) 的位置。
这样就可以推出动态转移方程:
\(dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+Time(i,i+1,i,j+1),dp[i+1][j][1]+Time(i,j,i,j+1))\)
表示老张从 \(i+1\) 的位置到 \(i\) 的位置,和老张从 \(j\) 的位置到 \(i\) 的位置,并加上途中其他路灯所耗费的电,取最小值即可。
\(dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+Time(i,j,i-1,j),dp[i][j-1][1]+Time(j-1,j,i-1,j))\)
表示老张从 \(j-1\) 的位置到 \(j\) 的位置,和老张从 \(i\) 的位置到 \(j\) 的位置,并加上途中其他路灯所耗费的电,取最小值即可。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000+50;
int n,k;
struct Node{
int d,w;
}e[maxn];
int sum[maxn];
int dp[maxn][maxn][2];
int Cala(int i1,int j1,int i0,int j0){//计算途中其他未关的路灯所耗费的电量
return (e[j1].d-e[i1].d)*(sum[i0]+sum[n]-sum[j0-1]);
}
int main(){
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));//初始为最大
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&e[i].d,&e[i].w);
sum[i]=sum[i-1]+e[i].w;//记录前缀和
}
dp[k][k][1]=0;//初始化
dp[k][k][0]=0;
for(int d=2;d<=n;d++){
for(int i=1,j;(j=i+d-1)<=n;i++){
dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+Cala(i,i+1,i,j+1),dp[i+1][j][1]+Cala(i,j,i,j+1));
dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][1]+Cala(j-1,j,i-1,j),dp[i][j-1][0]+Cala(i,j,i-1,j));
}
}
printf("%d\n",min(dp[1][n][1],dp[1][n][0]));//两种情况取最小值
return 0;
}
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