计算几何（一）：凸包问题（Convex Hull）

引言

首先介绍下什么是凸包？如下图：

在一个二维坐标系中，有若干点杂乱排列着，将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含给定的所有的点，这个多边形就是凸包。

实际上可以理解为用一个橡皮筋包含住所有给定点的形态。

凸包用最小的周长围住了给定的所有点。如果一个凹多边形围住了所有的点，它的周长一定不是最小，如下图。根据三角不等式，凸多边形在周长上一定是最优的。

凸包的求法

寻找凸包的算法有很多种，常用的求法有 Graham 扫描法和 Andrew 算法

Graham Scan 算法求凸包

Graham Scan 算法是一种十分简单高效的二维凸包算法，能够在 $O(nlogn)$ 的时间内找到凸包。

Graham Scan 算法的做法是先确定一个起点（一般是最左边的点和最右边的点），然后一个个点扫过去，如果新加入的点和之前已经找到的点所构成的 "壳" 凸性没有变化，就继续扫，否则就把已经找到的最后一个点删去，再比较凸性，直到凸性不发生变化。分别扫描上下两个 "壳"，合并在一起，凸包就找到了。这么说很抽象，我们看图来解释：

先找 "下壳"，上下其实是一样的。首先加入两个点 A 和 B。

然后插入第三个点 C，并计算 $\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{BC}$ 的向量积，却发现向量积系数小于（等于）0，也就是说 $\overrightarrow{BC}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 的顺时针方向上。

于是删去 B 点。

按照这样的方法依次扫描，找完 "下壳" 后，再找 "上壳"。

关于扫描的顺序，有坐标序和极角序两种，本文采用前者。坐标序是比较两个点的 x 坐标，小的先被扫描（扫描上凸壳的时候反过来），如果两个点 x 坐标相同，那么就比较 y 坐标，同样的也是小的先被扫描（扫描上凸壳的时候也是反过来）。极角序使用 atan2 函数的返回值进行比较，读者可以自己尝试写下。

下面贴下代码：Graham Scan 算法

struct Point
{
    double x, y;
    Point operator-(Point & p)
    {
        Point t;
        t.x = x - p.x;
        t.y = y - p.y;
        return t;
    }
    double cross(Point p) // 向量叉积
    {
        return x * p.y - p.x * y;
    }
};
bool cmp(Point & p1, Point & p2)
{
    if (p1.x != p2.x)
        return p1.x < p2.x;
    return p1.y < p2.y;
}
Point point[1005];  // 无序点
int   convex[1005]; // 保存组成凸包的点的下标
int   n;            // 坐标系的无序点的个数
int GetConvexHull()
{
    sort(point, point + n, cmp);
    int temp;
    int total = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) // 下凸包
    {
        while (total > 1 &&
              (point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]]).cross(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)
            total--;
        convex[total++] = i;
    }
    temp = total;
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) // 上凸包
    {
        while (total > temp &&
              (point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]]).cross(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)
            total--;
        convex[total++] = i;
    }
    return total - 1; // 返回组成凸包的点的个数，实际上多了一个，就是起点，所以组成凸包的点个数是 total - 1
}

Andrew 算法求凸包

首先把所有点以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。

显然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因为是凸多边形，我们如果从一个点出发逆时针走，轨迹总是“左拐”的，一旦出现右拐，就说明这一段不在凸包上。因此我们可以用一个单调栈来维护上下凸壳。

因为从左向右看，上下凸壳所旋转的方向不同，为了让单调栈起作用，我们首先 升序枚举 求出下凸壳，然后降序求出上凸壳。

求凸壳时，一旦发现即将进栈的点（ $P$ ）和栈顶的两个点（ $S_1,S_2$ ，其中 $S_1$ 为栈顶）行进的方向向右旋转，即叉积小于 $0$ ： $\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0$ ，则弹出栈顶，回到上一步，继续检测，直到 $\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}\ge 0$ 或者栈内仅剩一个元素为止。

通常情况下不需要保留位于凸包边上的点，因此上面一段中 $\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0$ 这个条件中的“ $<$ ”可以视情况改为 $\le$ ，同时后面一个条件应改为 $>$ 。

代码实现

// stk[]是整型，存的是下标
// p[]存储向量或点
tp = 0;                       //初始化栈
std::sort(p + 1, p + 1 + n);  //对点进行排序
stk[++tp] = 1;
//栈内添加第一个元素，且不更新used，使得1在最后封闭凸包时也对单调栈更新
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
  while (tp >= 2  //下一行*被重载为叉积
         && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
    used[stk[tp--]] = 0;
  used[i] = 1;  // used表示在凸壳上
  stk[++tp] = i;
}
int tmp = tp;  // tmp表示下凸壳大小
for (int i = n - 1; i > 0; --i)
  if (!used[i]) {
    //      ↓求上凸壳时不影响下凸壳
    while (tp > tmp && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
      used[stk[tp--]] = 0;
    used[i] = 1;
    stk[++tp] = i;
  }
for (int i = 1; i <= tp; ++i)  //复制到新数组中去
  h[i] = p[stk[i]];
int ans = tp - 1;

根据上面的代码，最后凸包上有 $ans$ 个元素（额外存储了 $1$ 号点，因此 $h$ 数组中有 $ans+1$ 个元素），并且按逆时针方向排序。周长就是

\[\sum_{i=1}^{ans}\left|\overrightarrow{h_ih_{i+1}}\right|
\]

参考