[国家集训队] calc(动规+拉格朗日插值法)
题目
P4463 [国家集训队] calc
集训队的题目真是做不动呀\(\%>\_<\%\)
朴素方程
设\(f_{i,j}\)为前\(i\)个数值域\([1,j]\),且序列递增的总贡献,则有:
\]
由于递增序列可以全排列的:\(ans=f_{n,A}×n!\)
时间复杂度\(O(nA)\)
证明一
设\(f_{i,j}\)为关于\(j\)的\(2i\)次多项式,则\(f_{i-1,j-1}*j\)为关于\(j\)的2i-1次多项式,\(f_{i,j-1}\)为关于\(j\)的\(2i\)次多项式
通过归纳法证明出\(f_{i,j}\)为关于\(j\)的\(2i\)次多项式
证明二
设\(f_{i,j}\)为关于\(j\)的\(g(i)\)次多项式,变式:
\]
则有\(g(i)-1=g(i-1)+1\longrightarrow g(i)=g(i-1)+2\),故\(f_{i,j}\)为关于\(j\)的\(2i\)次多项式
具体做法
综上我们已经证明出了\(f_{i,j}\)为关于\(j\)的\(2i\)次多项式,所以仅需\(2i\)项,通过拉格朗日插值法就能得出这个多项式的系数表示法,从而代入\(j=A\)求解即可
而\((i,f_{n,i})\),就相当于多项式在坐标系上的一点,我们需要求出\(2n+1\)个点去确定多项式\(k_0~k_{2n}\)这些系数
Code
#include<bits/stdc++.h>
typedef int LL;
const LL maxn=2e3;
LL A,n,mod,N;
LL y[maxn],f[maxn][maxn];
inline LL Pow(LL base,LL b){
LL ret(1);
while(b){
if(b&1) ret=1ll*ret*base%mod; base=1ll*base*base%mod; b>>=1;
}return ret;
}
inline LL Calc(LL x){
LL ret(0);
for(LL i=1;i<=N;++i){
LL p(y[i]),q(1);
for(LL j=1;j<=N;++j){
if(j!=i){
p=1ll*p*(x-j+mod)%mod;
q=1ll*q*(i-j+mod)%mod;
}
}
ret=(ret+1ll*p*Pow(q,mod-2)%mod)%mod;
}
return ret;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&A,&n,&mod);
N=(n<<1)+1;
for(LL i=0;i<=N;++i) f[0][i]=1;
for(LL i=1;i<=n;++i)
for(LL j=1;j<=N;++j)
f[i][j]=(1ll*f[i-1][j-1]*j%mod+f[i][j-1])%mod;
LL C(1);
for(LL i=2;i<=n;++i) C=1ll*C*i%mod;
for(LL i=1;i<=N;++i) y[i]=f[n][i];
if(A<=N)
printf("%d",1ll*f[n][A]*C%mod);
else
printf("%d",1ll*Calc(A)*C%mod);
return 0;
}
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