Petrozavodsk Summer-2015. Ivan Smirnov Contest 1 B Bloom

http://opentrains.snarknews.info/~ejudge/team.cgi?contest_id=001463

题目大意：
给出$n$个$x$，$m$个$y$，问有多少个hash函数 $y \equiv Ax + B (mod \ p)$, $p$是质数使得对$x$的集合加密后得到$y$的集合。

题解：

首先将所有$x$ mod $p$后去重。 剩下$n$个不同的$x$，$m$个不同的$y$。

ps: 以下公式均在mod p域下，因此省略mod p。

如果$A = 0$，那么只可能$m = 1$， $B = y_0$

如果$A \neq 0$，因为p是质数，所以$A * x_i  \neq A * x_j$.    那么必须$ n = m $

如果hash函数没有那个$B$，只有$y = Ax$怎么做呢？

考虑将每个数写成原根$g^i$的形式。

定义数组s, s[i] = 1 当且仅当 存在某个$x$，$x = g^i$.

定义数组t, t[i] = 1 当且仅当 存在某个$y$，$y = g^i$.

一个$A = g^k$合法当且仅当将s数组循环右移$k$位和t数组重合。

只要将t数组复制一遍做一次kmp就可以求出所有的$k$了。

再考虑如何把B给算进去.

假设$ y_i = A * x_i + B $. 两边对$i$求和。

记$sx = \sum\limits_{i=0}^{n - 1}x_i$,  $sy = \sum\limits_{i=0}^{n - 1}y_i$

那么有$sy = A * sx + n * B$,  $ B = \frac{sy - A * sx}{n}$ 是唯一的！

令$x_{i}^{'} = x_{i} - \frac{sx}{n}$  $y_{i}^{'} = y_{i} - \frac{sy}{n}$

问题就转化为$y_{i}^{'} = A * x_{i}^{'}$  这两个问题是完全等价的.

另外还有一些小细节：比如n = p的时候，分母n是没有逆元的，所以要特判断。

还有如果存在某个$x_{i}^{'} = 0$, 不存在某个$y_{i}^{'} = 0$ 或者反过来，都是无解的。（0不能表示为$g^i$, 所以也要特判）。

代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 #define MP make_pair
 #define MAXN 1000010
 int mod;
 vector<int> xi, yi;
 vector<pair<int, int> > ans;

 inline int add(int x, int y){return (x + y) % mod;}
 inline int sub(int x, int y){return (x - y + mod) % mod;}
 inline int mul(int x, int y){return 1ll * x * y % mod;}

 int power(int x, int p)
 {
     int res = ;
     for (; p; p >>= )
     {
         if (p & ) res = mul(res, x);
         x = mul(x, x);
     }
     return res;
 }

 int inv(int x)
 {
     return power(x, mod - );
 }

 int find_proot(int p)
 {
     static int pr[MAXN];
     static int flag[MAXN];
     for (int i = ; i < MAXN; ++i)
     {
         if (!flag[i]) pr[++pr[]] = i;
         for (int j = ; j <= pr[] && i * pr[j] < MAXN; ++j)
         {
             flag[i * pr[j]] = ;
             if (i % pr[j] == ) break;
         }
     }

     int g = ;
     while (true)
     {
         int fl = , pp = p - ;
         for (int i = ; i <= pr[] && pr[i] <= p; ++i)
         {
             if (pp % pr[i] ==  && power(g, pp / pr[i]) == )
             {
                 fl = ;
                 break;
             }
         }
         if (fl) return g;

         ++g;
     }
     return -;
 }

 vector<int> calc_shift(int *s, int *t, int len)
 {
     static int nxt[MAXN];
     nxt[] = nxt[] = ;
     int j;
     for (int i = ; i <= len; ++i)
     {
         j = nxt[i - ];
         while (j && s[j] != s[i - ])
             j = nxt[j];
         nxt[i] = s[i - ] == s[j]? j + : ;
     }

     for (int i = ; i < len; ++i)
         t[len + i] = t[i];

     j = ;
     vector<int> res;
     for (int i = ; i <  * len - ; ++i)
     {
         while (j && t[i] != s[j])
             j = nxt[j];
         if (t[i] == s[j]) ++j;
         if (j == len)
         {
             j = nxt[j];
             res.push_back(i - len + );
         }
     }
     return res;
 }

 void solve(int n, int m, int p)
 {
     if (n < m) return;
     if (m == ) ans.push_back(MP(, yi[]));
     if (n != m) return;
     if (n == p)
     {
         for (int a = ; a < p; ++a)
         {
             for (int b = ; b < p; ++b)
                 ans.push_back(MP(a, b));
         }
         return;
     }

     int _n = inv(n);
     int sx = , dx;
     int sy = , dy;

     for (auto x: xi) sx = add(sx, x);
     for (auto y: yi) sy = add(sy, y);
     dx = mul(sx, _n);
     dy = mul(sy, _n);

     int g = find_proot(p);
     static int lg[MAXN];
     memset(lg, -, sizeof(lg));
     for (int i = ; i < p - ; ++i)
         lg[power(g, i)] = i;
     for (int i = ; i <= p - ; ++i)
         assert(lg[i] != -);

     static int s[MAXN];
     static int t[MAXN * ];

     int x_zero = , y_zero = ;
     for (auto x: xi)
     {
         if (x == dx) ++x_zero;
         else s[lg[sub(x, dx)]] = ;
     }
     for (auto y: yi)
     {
         if (y == dy) ++y_zero;
         else t[lg[sub(y, dy)]] = ;
     }
     if (x_zero != y_zero) return;

     vector<int> a_list = calc_shift(s, t, p - );
     for (auto a: a_list)
     {
         a = power(g, a);
         int b = mul(sub(sy, mul(a, sx)), _n);
         ans.push_back(MP(a, b));
     }
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt", "r", stdin);
     int n, m, p, x, y;
     scanf("%d %d %d", &n, &m, &p), mod = p;
     for (int i = ; i < n; ++i)
     {
         scanf("%d", &x);
         xi.push_back(x % p);
     }
     for (int i = ; i < m; ++i)
     {
         scanf("%d", &y);
         yi.push_back(y);
     }
     sort(xi.begin(), xi.end());
     xi.erase(unique(xi.begin(), xi.end()), xi.end());

     sort(yi.begin(), yi.end());
     yi.erase(unique(yi.begin(), yi.end()), yi.end());

     n = xi.size();
     m = yi.size();

     solve(n, m, p);

     printf("%d\n", ans.size());
     for (auto vv: ans) printf("%d %d\n", vv.first, vv.second);

     return ;
 }