NumPy - 线性代数

NumPy 包包含numpy.linalg模块，提供线性代数所需的所有功能。此模块中的一些重要功能如下表所述。

序号	函数及描述
1.	`dot` 两个数组的点积
2.	`vdot` 两个向量的点积
3.	`inner` 两个数组的内积
4.	`matmul` 两个数组的矩阵积
5.	`determinant` 数组的行列式
6.	`solve` 求解线性矩阵方程
7.	`inv` 寻找矩阵的乘法逆矩阵

`numpy.dot()`

此函数返回两个数组的点积。对于二维向量，其等效于矩阵乘法。对于一维数组，它是向量的内积。对于 N 维数组，它是a的最后一个轴上的和与b的倒数第二个轴的乘积。

import numpy.matlib
import numpy as np 
a = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])
np.dot(a,b)

Python

输出如下：

[[37  40]
 [85  92]]

Python

要注意点积计算为：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

`numpy.vdot()`

此函数返回两个向量的点积。如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。如果参数id是多维数组，它会被展开。

例子

import numpy as np
a = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])
print np.vdot(a,b)

Python

输出如下：

Python

注意：1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130。

`numpy.inner()`

此函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

例子

import numpy as np
print np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0]))
# 等价于 1*0+2*1+3*0

Python

输出如下：

Python

例子

# 多维数组示例
import numpy as np
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
print '数组 a：'
print a
b = np.array([[11, 12], [13, 14]]) 
print '数组 b：'
print b 
print '内积：'
print np.inner(a,b)

Python

输出如下：

数组 a：
[[1 2]
[3 4]]
数组 b：
[[11 12]
[13 14]]
内积：
[[35 41]
[81 95]]

Python

上面的例子中，内积计算如下：

1*11+2*12, 1*13+2*14
3*11+4*12, 3*13+4*14

Python

`numpy.matmul`

numpy.matmul()函数返回两个数组的矩阵乘积。虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。

例子

# 对于二维数组，它就是矩阵乘法
import numpy.matlib
import numpy as np 
a = [[1,0],[0,1]]
b = [[4,1],[2,2]]
print np.matmul(a,b)

Python

输出如下：

[[4  1]
 [2  2]]

Python

例子

# 二维和一维运算
import numpy.matlib
import numpy as np 
a = [[1,0],[0,1]]
b = [1,2]
print np.matmul(a,b)
print np.matmul(b,a)

Python

输出如下：

[1  2]
[1  2]

Python

例子

# 维度大于二的数组
import numpy.matlib
import numpy as np 
a = np.arange(8).reshape(2,2,2)
b = np.arange(4).reshape(2,2)
print np.matmul(a,b)

Python

输出如下：

[[[2   3]
   [6   11]]
  [[10  19]
   [14  27]]]

Python

`numpy.linalg.det()`

行列式在线性代数中是非常有用的值。它从方阵的对角元素计算。对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为ad-bc。较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

numpy.linalg.det()函数计算输入矩阵的行列式。

例子

import numpy as np
a = np.array([[1,2], [3,4]])
print np.linalg.det(a)

Python

输出如下：

-2.0

Python

例子

b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]])
print b
print np.linalg.det(b)
print 6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2)

Python

输出如下：

[[ 6 1 1]
 [ 4 -2 5]
 [ 2 8 7]]
-306.0
-306

Python

`numpy.linalg.solve()`

numpy.linalg.solve()函数给出了矩阵形式的线性方程的解。

考虑以下线性方程：

x + y + z = 6
2y + 5z = -4
2x + 5y - z = 27

Python

可以使用矩阵表示为：

如果矩阵成为A、X和B，方程变为：

AX = B

Python

或

X = A^(-1)B

Python

`numpy.linalg.inv()`

我们使用numpy.linalg.inv()函数来计算矩阵的逆。矩阵的逆是这样的，如果它乘以原始矩阵，则得到单位矩阵。

例子

import numpy as np 
x = np.array([[1,2],[3,4]])
y = np.linalg.inv(x)
print x
print y
print np.dot(x,y)

Python

输出如下：

[[1 2]
 [3 4]]
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
[[  1.00000000e+00   1.11022302e-16]
 [  0.00000000e+00   1.00000000e+00]]

Python

例子

现在让我们在示例中创建一个矩阵A的逆。

import numpy as np
a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]) 
print '数组 a：'
print a
ainv = np.linalg.inv(a) 
print 'a 的逆：'
print ainv  
print '矩阵 b：'
b = np.array([[6],[-4],[27]])
print b 
print '计算：A^(-1)B：'
x = np.linalg.solve(a,b)
print x
# 这就是线性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

Python

输出如下：

数组 a：
[[ 1 1 1]
 [ 0 2 5]
 [ 2 5 -1]]
a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
 [-0.47619048 0.14285714 0.23809524]
 [ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]]
矩阵 b：
[[ 6]
 [-4]
 [27]]
计算：A^(-1)B：
[[ 5.]
 [ 3.]
 [-2.]]

Python

结果也可以使用下列函数获取

x = np.dot(ainv,b)