高数 | Dirichlet 积分

在分析学中，Dirichlet 积分 是如下形式的 无穷限积分

\[\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x
\]

它是条件收敛的，且收敛到 \(\frac{\pi}{2}\) 该问题是在研究数学摆的阻尼振动模型中引出的。对它的求解可依靠经典的分析方法或留数理论进行。

函数 \(f(x) =\frac{\sin x}{x}\) 的不定积分是没有初等表示方法的，因此上述积分不能通过一般的原函数法来求解。

推广

设常数 \(a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0\) ，那么有

\[\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin b x}{x \mathrm{e}^{a x}} \mathrm{~d} x=\arctan \frac{b}{a}
\]

相关问题

1. 函数 \(y =\frac{\sin x}{x}\) 是二阶齐次线性常微分方程

\[y^{\prime \prime}+\frac{2}{x} y^{\prime}+y=0
\]

的一个特解，其通解为

1. 二次积分

\[I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{x^{2}}^{1} \frac{y \sin x}{x} \mathrm{~d} x
\]

作为 \(\frac{y\sin x}{x}\) 的二重积分时表示的积分区域

\[D=\left\{0 \leqslant y \leqslant 1, y^{2} \leqslant x \leqslant 1\right\}=\{0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\}
\]

于是上述积分

\[I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{y \sin x}{x} \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1}\left(\left.\frac{1}{2} \frac{\sin x}{x} y^{2}\right|_{0} ^{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x=\frac{1-\cos 1}{2} .
\]

1. \[\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{n=1}^{n} \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{x}
   \]

2. 使用分部积分法可以得到 \(\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}\)

参见

• 无穷限积分
• Poisson 积分
• Fresnel 积分
• Frullani 积分
• Laplace 积分
• Euler 积分
• Lobatchevski 积分