汉诺塔(Hanoi)——小小算法

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汉诺(Hanoi)塔源于古印度,是非常著名的智力趣题,大意如下：

勃拉玛是古印度的一个开天辟地的神，其在一个庙宇中留下了三根金刚石的棒，第一
根上面套着64个大小不一的圆形金片。其中，最大的金片在最底下，其余的依次叠上
去，且一个比一个小。勃拉玛要求众僧将该金刚石棒中的金片逐个地移动到另一根棒
上，规定：
    一次只能移动一个金片，且金片在放到棒上时，只能大的放在小的下面，但是可以利用中间的一根棒最为辅助。

问题分析

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从上至下,我将盘一次标号为1、2、3......

• 当只有一个盘的时候,只需要将其从A棒移动至C棒;

步骤:

1号:A ——> C

• 当有两个盘时,需要先将第一个盘移动至B棒,再将第二个盘移动至C棒,再将第一个盘移动至C棒;

步骤:

1号:A ——> B

2号:A ——> C

1号:B ——> C

• 当有3个盘子时,需要进行的步骤为:

1号:A ——> C

2号:A ——> B

1号:C ——> B

3号:A ——> C

1号:B ——> A

2号:B ——> C

1号:A ——> C

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可以看出，当号数与盘子总数相等时,进行的操作只有A ——> C。所以可以将把A棒上的所有盘子借助B棒移动到C棒的整个过程总结为三步：

1. 将A棒上的n-1个圆盘借助C棒移动到B棒上
2. 将A棒上的一个圆盘移动到C棒上
3. 将B棒上的圆盘借助A棒移动到C棒上

当然，当只有一个盘子时只需A ——> C;两个盘子的时候，也不需要中介。

初态:



移动n-1个圆盘:



移动剩下的一个盘:



移动B棒上的盘:

示例代码

package com.yuanyang.example;

import java.util.Scanner;

public class Hanoi {

    static long count;  //移动的次数

    /**
     * @param n 盘子总数
     * @param a A棒
     * @param b B棒
     * @param c C棒
     * @param disk 用来输出移动的第k个盘子
     */
    static void move(int n,char a,char b,char c,int disk){//A棒借助B棒移动到C棒
        disk --;
        if (n==1) {//当只有一个盘子的时候,直接从A棒移动至C棒
            System.out.printf("第%d次移动:\t第%d个盘子,圆盘从%c移动到%c棒\n",++count,disk,a,c);
        }else {//当盘子大于一的时候。
            move(n-1,a,c,b,disk);//将A棒上的n-1个盘子借助C棒移动到B棒
            System.out.printf("第%d次移动:\t第%d个盘子,圆盘从%c移动到%c棒\n",++count,disk,a,c);//将最后一张盘子从A棒移到C棒
            move(n-1,b,a,c,disk);//将B棒上剩下的n-1个盘子借助A棒移动到C棒
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入圆盘数:");
        int n = input.nextInt();
        move(n,'a','b','c',n + 1);
        System.out.printf("一共进行了%d次移动\n",count);
    }
}

这样，我们就可以得到结果了。但是，可以发现，移动的次数n和盘子数x存在 x = 2^n-1 的关系，所以，当盘子达到64个的时候，次数达到了18446744073709551615次，这就很尴尬了，这群僧人估计搬完是没戏了。