卢卡斯定理&&中国剩余定理

卢卡斯定理（模数较小，且是质数）

式子C(m,n)=C(m/p,n/p)*C(m%p,n%p)%p

至于证明（我也不会QAQ，只要记住公式也该就好了）。

同时卢卡斯定理一般用于组合数取模上

1.首先当组合数取得模较大时，我们可以使用卢卡斯，也可以直接求

（只要数据范围不是很大，还能开得起数组，我们可以直接预处理出阶乘，逆元，需要时O(1)求，当然要是质数，不然只能现求）。

2.当组合数的模很小时，我们只能用卢卡斯，

我们可以发现假如我们照旧求的话，可能有的阶乘直接被消成0了

这个时候直接用阶乘会不准确，那么只能lusca了

3.模数非质数时，例如多个质数相乘，我们先用质因数分解，在用中国剩余定理即可。

 1 ll pow(ll x,ll y,ll mod)
 2 {
 3     ll ans=1;
 4     if(y==0)return 1;
 5     while(y)
 6     {
 7        if(y&1)ans=ans*x%mod;
 8        x=x*x%mod;
 9        y>>=1;
10     }
11     return ans%mod;
12 }
13 ll C(ll x,ll y,ll mod)
14 {
15     if(y>x)return 0;
16     if(y==0)return 1;
17     return jie[x]*pow(jie[y]*jie[x-y]%mod,mod-2,mod)%mod;
18 }
19 ll lus(ll x,ll y,ll mod)
20 {
21    if(y>x)return 0;
22    if(y==0)return 1;
23    return lus(x/mod,y/mod,mod)*C(x%mod,y%mod,mod)%mod;
24 }

卢卡斯模板

一道例题

中国剩余定理：

设m1,m2,m3,m4....mk两两互素，则同余方程组

x≡a1(mod m1)

x≡a2(mod m2)

x≡a3(mod m3)

x≡a4(mod m4)

x≡ak(mod mk)

一定有解，x≡(a1*M1*M1^(-1)+a2*M2*M2^(-1)+....)(mod M)

其中M=m1*m2*m3*....mk,Mi=M/mi,Mi^(-1)是Mi在模mi意义下的逆元。

至于证明自己可以在书上看了。。。。

代码

 1 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 2 {
 3    if(b==0){
 4       x=1;y=0;return ;
 5    }
 6    exgcd(b,a%b,x,y);
 7    ll z=x;x=y;y=z-(a/b)*y;
 8    return ;
 9 }
10 ll sum;ll len=1;
11 void CRT()
12 {
13    for(ll i=0;i<su.size();++i)
14    {
15       len*=su[i];
16       //printf("%lld\n",len);
17    }
18    for(ll i=0;i<su.size();++i)
19    {
20       M[i]=len/su[i];
21    }
22    for(ll i=0;i<su.size();++i)
23    {
24         ll x,y;
25         exgcd(M[i],su[i],x,y);
26         x=(x+su[i])%su[i];
27         sum=(sum+ans[i]*M[i]*x)%len;
28         //printf("sum=%lld ans=%lld M=%lld x=%lld\n",sum,ans[i],M[i],x);
29    }
30    printf("%lld\n",sum);
31 }

m=∏ni=1mi,Mi=m/mi

m=∏ni=1mi,Mi=m/mim=∏ni=1mi,Mi=m/mi

m=∏ni=1mi,Mi=m/mi