Something about 树链剖分
声明:部分思路与图片源于OI Wiki
关于树链剖分
树链剖分用于将树分割成若干条链的形式,以维护树上路径的信息。
树链剖分有多种形式,如 重链剖分,长链剖分 和用于 $LCT$ 的剖分,大多数情况下,“树链剖分”都指“重链剖分”。
重链剖分可以将树上的任意一条路径划分成不超过$O(\log n)$条连续的链,每条链上的点深度互不相同(即是自底向上的一条链,链上所有点的$LCA$为链的一个端点)。
重链剖分还能保证划分出的每条链上的节点$DFS$序连续,因此可以方便地用一些维护序列的数据结构(如线段树)来维护树上路径的信息。
如:
1.修改 树上两点之间的路径上 所有点的值。
2.查询 树上两点之间的路径上 节点权值的 和/极值/其它(在序列上可以用数据结构维护,便于合并的信息)
除了配合数据结构来维护树上路径信息,树剖还可以用来$O(\log n)$(且常数较小)地求$LCA$。在某些题目中,还可以利用其性质来灵活地运用树剖。
重链剖分
给出以下定义:
定义 重子节点 表示其子节点中子树最大的子结点。如果有多个子树最大的子结点,取其一。如果没有子节点,就无重子节点。
定义 轻子节点 表示剩余的所有子结点。
从这个结点到重子节点的边为 重边。
到其他轻子节点的边为 轻边。
若干条首尾衔接的重边构成 重链。
把落单的结点也当作重链,那么整棵树就被剖分成若干条重链。
实现
做出以下说明:
$Ftr_x$表示节点$x$在树上的父亲。
$Dep_x$表示节点$x$在树上的深度。
$Size_x$表示节点$x$的子树的节点个数。
$Son_x$表示节点$x$的重儿子。
$Top_x$表示节点$x$所在 重链 的顶部节点(深度最小)。
$Dfn_x$表示节点$x$的 $DFS$ 序,也是其在线段树中的编号。
$Rank_x$表示 $DFS$ 序所对应的节点编号,有$Rank_{Dfn_x}=x$ 。
我们进行两遍 DFS 预处理出这些值,其中第一次$DFS$求出 $Ftr_x$,$Dep_x$,$Size_x$,$Son_x$,第二次 DFS 求出 $Top_x$,$Dfn_x$,$Rank_x$。
inline void DFS1(int o)
{
Son[o] = -1;
Size[o] = 1;
for (register int j = h[o]; j; j = nxt[j])
if (!Dep[p[j]])
{
Dep[p[j]] = Dep[o] + 1;
Ftr[p[j]] = o;
DFS1(p[j]);
Size[o] += Size[p[j]];
if (Son[o] == -1 or Size[p[j]] > Size[Son[o]])
Son[o] = p[j];
}
}
inline void DFS2(int o , int t)
{
Top[o] = t;
Dfn[o] = ++Cnt;
Rank[Cnt] = o;
if (Son[o] == -1)
return;
DFS2(Son[o] , t);
for (register int j = h[o]; j; j = nxt[j])
if (p[j] != Son[o] and p[j] != Ftr[o])
DFS2(p[j] , p[j]);
}
重链剖分性质
树上每个节点都属于且仅属于一条重链。
重链开头的结点不一定是重子节点(因为重边是对于每一个结点都有定义的)。
所有的重链将整棵树 完全剖分。
在剖分时重边优先遍历,最后树的$DFN$序上,重链内的$DFN$序是连续的。按$DFN$排序后的序列即为剖分后的链。
一颗子树内的$DFN$序是连续的。
可以发现,当我们向下经过一条 轻边 时,所在子树的大小至少会除以二。
因此,对于树上的任意一条路径,把它拆分成从$LCA$分别向两边往下走,分别最多走$O(\log n)$次,因此,树上的每条路径都可以被拆分成不超过$O(\log n)$条重链。
(待更新)
Something about 树链剖分的更多相关文章
- BZOJ 3626: [LNOI2014]LCA [树链剖分 离线|主席树]
3626: [LNOI2014]LCA Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 2050 Solved: 817[Submit][Status ...
- BZOJ 1984: 月下“毛景树” [树链剖分 边权]
1984: 月下“毛景树” Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 64 MBSubmit: 1728 Solved: 531[Submit][Status][Discu ...
- codevs 1228 苹果树 树链剖分讲解
题目:codevs 1228 苹果树 链接:http://codevs.cn/problem/1228/ 看了这么多树链剖分的解释,几个小时后总算把树链剖分弄懂了. 树链剖分的功能:快速修改,查询树上 ...
- 并查集+树链剖分+线段树 HDOJ 5458 Stability(稳定性)
题目链接 题意: 有n个点m条边的无向图,有环还有重边,a到b的稳定性的定义是有多少条边,单独删去会使a和b不连通.有两种操作: 1. 删去a到b的一条边 2. 询问a到b的稳定性 思路: 首先删边考 ...
- 树链剖分+线段树 CF 593D Happy Tree Party(快乐树聚会)
题目链接 题意: 有n个点的一棵树,两种操作: 1. a到b的路径上,给一个y,对于路径上每一条边,进行操作,问最后的y: 2. 修改某个条边p的值为c 思路: 链上操作的问题,想树链剖分和LCT,对 ...
- 树链剖分+线段树 HDOJ 4897 Little Devil I(小恶魔)
题目链接 题意: 给定一棵树,每条边有黑白两种颜色,初始都是白色,现在有三种操作: 1 u v:u到v路径(最短)上的边都取成相反的颜色 2 u v:u到v路径上相邻的边都取成相反的颜色(相邻即仅有一 ...
- bzoj2243树链剖分+染色段数
终于做了一道不是一眼出思路的代码题(⊙o⊙) 之前没有接触过这种关于染色段数的题目(其实上课好像讲过),于是百度了一下(现在思维能力好弱) 实际上每一段有用的信息就是总共有几段和两段各是什么颜色,在开 ...
- bzoj3631树链剖分
虽然是水题1A的感觉太爽了O(∩_∩)O~ 题意相当于n-1次树上路径上每个点权值+1,最后问每个点的权值 本来想写线段树,写好了change打算框架打完了再来补,结果打完发现只是区间加和单点查 前缀 ...
- BZOJ 3531: [Sdoi2014]旅行 [树链剖分]
3531: [Sdoi2014]旅行 Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 512 MBSubmit: 1685 Solved: 751[Submit][Status] ...
- BZOJ 2243: [SDOI2011]染色 [树链剖分]
2243: [SDOI2011]染色 Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 512 MBSubmit: 6651 Solved: 2432[Submit][Status ...
随机推荐
- 2013年第四届蓝桥杯C/C++程序设计本科B组省赛 第39级台阶
题目描述: 第39级台阶 小明刚刚看完电影<第39级台阶>,离开电影院的时候,他数了数礼堂前的台阶数,恰好是39级! 站在台阶前,他突然又想着一个问题: 如果我每一步只能迈上1个或2个台阶 ...
- C语言printf用法详解
#include <stdio.h> int main() { printf("%s","hello world1!\n");//%s字符标志可省略 ...
- Java基础00-字符串14
1. API 1.1 API概述 2. String String常用类的常用方法 String字符串变量的创建: 声明: String 变量名; String str; 声明并初始化: Str ...
- aria2+uget+chrome
1.安装aira2 sudo apt install aria2 2.安装及配置uget sudo apt install uget 编辑 -> 设置: 分类 -> 属性: 3.chrom ...
- 微信小程序云开发-云存储的应用-识别营业执照
一.准备工作 1.创建云函数identify 二.云函数identify中index.js代码 1 // 云函数入口文件 2 const cloud = require('wx-server-sdk' ...
- PAT甲级:1066 Root of AVL Tree (25分)
PAT甲级:1066 Root of AVL Tree (25分) 题干 An AVL tree is a self-balancing binary search tree. In an AVL t ...
- Guava - Map
创建Map 通常在创建map时使用new HashMap<>();的方法,guava提供了一个简洁的方法 Maps.newHashMap(); List转换Map List<Solu ...
- POJ1456 Supermarket 题解
思维题. 关键在于如何想到用堆来维护贪心的策略. 首先肯定是卖出的利润越大的越好,但有可能当前这天选定了利润最大的很久才过期而利润第二大的第二天就过期,这时的策略就不优了. 所以我们必须动态改变策略, ...
- Tbase读写分离与分库分表
一.读写分离 1.1 what 读写分离 读写分离,基本的原理是让主数据库处理事务性增.改.删操作(INSERT.UPDATE.DELETE),而从数据库处理SELECT查询操作.数据库复制被用来把事 ...
- Python自动化测试面试题-MySQL篇
目录 Python自动化测试面试题-经验篇 Python自动化测试面试题-用例设计篇 Python自动化测试面试题-Linux篇 Python自动化测试面试题-MySQL篇 Python自动化测试面试 ...