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关于树链剖分

树链剖分用于将树分割成若干条链的形式,以维护树上路径的信息。

树链剖分有多种形式,如 重链剖分长链剖分 和用于 $LCT$ 的剖分,大多数情况下,“树链剖分”都指“重链剖分”。

重链剖分可以将树上的任意一条路径划分成不超过$O(\log n)$条连续的链,每条链上的点深度互不相同(即是自底向上的一条链,链上所有点的$LCA$为链的一个端点)。

重链剖分还能保证划分出的每条链上的节点$DFS$序连续,因此可以方便地用一些维护序列的数据结构(如线段树)来维护树上路径的信息。

如:

1.修改 树上两点之间的路径上 所有点的值。

2.查询 树上两点之间的路径上 节点权值的 和/极值/其它(在序列上可以用数据结构维护,便于合并的信息)

除了配合数据结构来维护树上路径信息,树剖还可以用来$O(\log n)$(且常数较小)地求$LCA$。在某些题目中,还可以利用其性质来灵活地运用树剖。

重链剖分

给出以下定义:

定义 重子节点 表示其子节点中子树最大的子结点。如果有多个子树最大的子结点,取其一。如果没有子节点,就无重子节点。

定义 轻子节点 表示剩余的所有子结点。

从这个结点到重子节点的边为 重边

到其他轻子节点的边为 轻边

若干条首尾衔接的重边构成 重链

把落单的结点也当作重链,那么整棵树就被剖分成若干条重链。

实现

做出以下说明:

$Ftr_x$表示节点$x$在树上的父亲。

$Dep_x$表示节点$x$在树上的深度。

$Size_x$表示节点$x$的子树的节点个数。

$Son_x$表示节点$x$的重儿子

$Top_x$表示节点$x$所在 重链 的顶部节点(深度最小)。

$Dfn_x$表示节点$x$的 $DFS$,也是其在线段树中的编号。

$Rank_x$表示 $DFS$ 序所对应的节点编号,有$Rank_{Dfn_x}=x$ 。

我们进行两遍 DFS 预处理出这些值,其中第一次$DFS$求出 $Ftr_x$,$Dep_x$,$Size_x$,$Son_x$,第二次 DFS 求出 $Top_x$,$Dfn_x$,$Rank_x$。

inline void DFS1(int o)
{
Son[o] = -1;
Size[o] = 1;
for (register int j = h[o]; j; j = nxt[j])
if (!Dep[p[j]])
{
Dep[p[j]] = Dep[o] + 1;
Ftr[p[j]] = o;
DFS1(p[j]);
Size[o] += Size[p[j]];
if (Son[o] == -1 or Size[p[j]] > Size[Son[o]])
Son[o] = p[j];
}
}
inline void DFS2(int o , int t)
{
Top[o] = t;
Dfn[o] = ++Cnt;
Rank[Cnt] = o;
if (Son[o] == -1)
return;
DFS2(Son[o] , t);
for (register int j = h[o]; j; j = nxt[j])
if (p[j] != Son[o] and p[j] != Ftr[o])
DFS2(p[j] , p[j]);
}

重链剖分性质

树上每个节点都属于且仅属于一条重链

重链开头的结点不一定是重子节点(因为重边是对于每一个结点都有定义的)。

所有的重链将整棵树 完全剖分

在剖分时重边优先遍历,最后树的$DFN$序上,重链内的$DFN$序是连续的。按$DFN$排序后的序列即为剖分后的链。

一颗子树内的$DFN$序是连续的。

可以发现,当我们向下经过一条 轻边 时,所在子树的大小至少会除以二。

因此,对于树上的任意一条路径,把它拆分成从$LCA$分别向两边往下走,分别最多走$O(\log n)$次,因此,树上的每条路径都可以被拆分成不超过$O(\log n)$条重链。

(待更新)

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