「CF85E」 Guard Towers

「CF85E」 Guard Towers

模拟赛考了这题的加强版

然后我因为初值问题直接炸飞

题目大意：

给你二维平面上的 \(n\) 个整点，你需要将它们平均分成两组，使得每组内任意两点间的曼哈顿距离的最大值最小。

本题数据范围为 $n\le 5\times 10^3 $。

这种极值问题，很容易想到的是二分答案，而本题也确实可行。

二分距离的最大值 \(x\)，将两点距离大于 \(x\) 的点对连边，则问题转化为我们构建的新图是否为二分图。

其实我感觉复杂度挺假的

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考虑曼哈顿距离在此处处理并不方便，所以我们可以将其转化为切比雪夫距离进行求解。

（定义可以去网上康康）

即令 \((x,y)=(x+y,x-y)\)，得到的新的点之间的切比雪夫距离等价于原来的点之间的曼哈顿距离。

曼哈顿距离：\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)

切比雪夫距离：\(\max\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}\)。

于是现在的问题变为：在平面内用两个相同大小的正方形覆盖所有点的最小正方形大小。

首先，平面上的所有点可以被一个最小的矩形覆盖，那么根据切比雪夫距离的定义，两个正方形的某一个顶点必定与矩形的某个顶点重合，因为这个矩形的每条边上都有点的存在。

也就是说，我们找到的两个正方形一定长这样：

如图所示共有两种情况需要讨论。

那么问题就非常简单了：我们枚举每个点，比较重合端点与该点的距离，以决定该点的归属。

这样我们可以在线性时间内找到两种情况的答案，比较即可。

这样我们解决了第一问，即每个正方形的大小。

如何统计方案数？

首先用两种颜色染色就有两种染色方案。

然后最后我们找到的正方形可能长这样：

红色部分的点可以被任意分配，每个点有两种情况，假设共有 \(x\) 个点，就有 \(2^x\) 种分配方案。

现在仍然有一个棘手的问题，如果刚才的两种情况得到的答案大小相等怎么办？

将最终答案乘二即可。

但是，仍然存在特殊情况。

当得到的正方形是这个样子的时候，我们上面讨论的两种情况是一样的，这个时候答案不需要发生改变。

综上，我们在 \(O(n)\) 的时间复杂度内解决了此问题。

（代码是考场上写的改的，真的很丑）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
const int p=1e9+7;
int x[maxn],y[maxn];
int X1=36456,X2=-4746,y3=34563,y4=-2345234;//看这个地方就知道我的心情有多复杂...
int dist(int X1,int Y1,int X2,int Y2){
	return max(abs(X1-X2),abs(Y1-Y2));
}
int Ans=-1,Cnt,n,mx,cnt;
int ksm(int a,int b,int p){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=1ll*ans*a%p;
		b>>=1,a=1ll*a*a%p;
	}
	return ans;
}
void calc(){
	mx=0,cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		mx=max(mx,min(dist(x[i],y[i],X1,y3),dist(x[i],y[i],X2,y4)));
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(dist(x[i],y[i],X1,y3)<=mx&&dist(x[i],y[i],X2,y4)<=mx) ++cnt;
	}
	if(Ans==-1) Ans=mx,Cnt=cnt;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	if(n==2) cout<<"0\n2\n",exit(0);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int a,b;cin>>a>>b;
		x[i]=a+b;
		y[i]=a-b;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(x[i]<X1) X1=x[i];
		if(x[i]>X2) X2=x[i];
		if(y[i]<y3) y3=y[i];
		if(y[i]>y4) y4=y[i];
	}
	calc();
	swap(y3,y4);
	calc();
	swap(y3,y4);
	if(mx<Ans){
		cout<<mx<<'\n'<<ksm(2,1+cnt,p)<<'\n';
	}
	else if(mx==Ans){
		cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(dist(x[i],y[i],X1,y3)<=mx&&dist(x[i],y[i],X2,y4)<=mx) ++cnt;
			else if(dist(x[i],y[i],X1,y4)<=mx&&dist(x[i],y[i],X2,y3)<=mx) ++cnt;
		}
		if(X2-X1>mx&&y4-y3>mx) cout<<mx<<'\n'<<ksm(2,2+cnt,p)<<'\n';
		else cout<<mx<<'\n'<<ksm(2,1+cnt,p)<<'\n';
	}
	else cout<<Ans<<'\n'<<ksm(2,1+Cnt,p)<<'\n';
	return 0;
}