【BZOJ5146】有趣的概率 概率+组合数(微积分)
【BZOJ5146】有趣的概率
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题解:思路比较简单,过程比较复杂的数学题。首先本题有两种统计方法,一种的点是无标号的,另一种的点是有标号的,显然二者答案相等,但是无标号的比有标号的恶心多了。。。不过由于本人比较sb采用了无标号的方法,所以这里先讲我的做法:
至少有一个锐角等价于存在一个点,他左右两个点之间夹的圆弧大于一个半圆。所以我们不妨设圆是由$S$个点组成的($S\rightarrow \infty$),那么我们先钦定一个角做锐角,再固定它左边的点不动,然后枚举剩下的那段圆弧的长度,便能得到某个角是锐角的概率:
$p_1={\sum\limits_{i=1}^{\frac S 2}(S-i)C_i^{n-3} \over C_S^{n-1}}$ ----(1)
运用一点组合知识,便能将这个式子化简到这个形式:$p_1={n\over 2^{n-1}}$。(如果你组合学得不好,本文最后会给出推导过程。)
有n个点,所以概率再乘上n,但是我们好像忽视了一个情况:圆内一个凸多边形可能有两个锐角!
所以我们把这个重复的部分去掉即可,由于两个锐角一定是相邻的,所以我们可以钦定某两个点是锐角,某对相邻的角全是锐角的概率是:
$p_2={\sum\limits_{i=1}^{\frac S 2}(\frac S 2-i)C_i^{n-2} \over C_S^{n-1}}$ ----(2)
推导过程类似,最后得到:$p_2=\frac 1 {2^{n-2}}$
所以最终答案就是:$(p_1-p_2)n=\frac {n(n-2)} {2^{n-1}}$。
如果用有标号的方法的话(Orz xqz),用微积分可以很快的解决问题(其实本质思想差不多),这里不给出式子了(其实是没学过)。
代码就不贴了。。。
附推导过程↓↓↓
先声明,在后面的式子中,某些变量趋近于无穷,因此我会舍弃它们后面的常数项。具体过程如下:
首先解释(1),(2)式的含义。(1)式中,我们先固定了一个点A,然后选择了A在顺时针方向的后两个点B,C,接着枚举了剩下那段圆弧的长度i,其中B对应的角是锐角,i可以看作弧AC的长度。那么,B的位置可以在剩余S-i个点中任取,其余n-3个点可以在i个点中任取,所以就是$(S-i)C_i^{n-3}$。最后总方案数可以看成固定一个点,其余的点在S中任取,就是$C_S^{n-1}$。
我们将分子的(S-i)拆开处理,然后将S提出来。首先有$\sum\limits_{i=1}^m C_i^n=C_m^{n+1}$,因为这可以看成在m个物品中选n个,你枚举编号最大的那个物品的编号得到的结果。于是前一部分就变成$S\times C_{S\over 2}^{n-2}$。又因为$iC_i^n=(i+1)C_i^n=(n+1)C_i^{n+1}$,所以我们又可以套用前面的式子,那么后一部分就变成了$(n-2)\times C_{S\over 2}^{n-1}$。
继续化简:${S\cdot C_{S\over 2}^{n-2}-(n-2)C_{S\over 2}^{n-1}\over C_S^{n-1}}\\={{2\cdot {S\over 2}({S\over 2})!\over (n-2)!({S\over 2}-(n-2))!}-{(n-2)({S\over 2})!\over (n-1)!({S\over 2}-(n-1))!}\over{S!\over (n-1)!(S-(n-1))!}}\\={{2(n-1)({S\over 2})!\over (n-1)!({S\over 2}-(n-1))!}-{(n-2)({S\over 2})!\over (n-1)!({S\over 2}-(n-1))!}\over{S!\over (n-1)!(S-(n-1))!}}\\={n({S\over 2}!)(S-(n-1))!\over S!({S\over 2}-(n-1))!}\\={n\over 2^{n-1}}$
(2)式中,我们先固定了固定了一个点a,然后选择它在顺时针方向的下一个点b,要求a顺时针到b的这条圆弧大于一个半圆,接着枚举b到a这段劣弧的长度i,那么b可以在${S\over 2}-i$个点里选,剩余的点可以在i个点里选,这样就能保证角a和角b都是锐角了。方案数是$({S\over 2}-i)C_i^{n-2}$。推导过程略。
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