如何猜出 Y combinator

先约定几个记号:

定义用一个冒号加等号表示“:=”，
表达式全等用两个等号表示“==”，
归约意义上的相等用一个等号表示“=”，“==”蕴涵“=”。

由于lambda演算不能定义符号，所以像这样的递归定义是不能被求值的：

f := (lambda () (f))

如何在lambda验算中实现递归？从最简单的递归函数开始。希望能带来一些启发。

寻找 \(\Omega\)

首先，我们的目标是找出一个无限循环的lambda表达式。另外额外要求这个表达式最短。

一个lambda表达式只可能有三种形式：

符号（x, y, z等等），
函数（如(lambda (x) x)），
应用（英文application，即函数调用，如调用函数func，参数x写作：(func x)）。

第1、2种形式又称为值（value），因为他们不能被归约了。一个无限循环的表达式只能是第3种形式：

(exp1 exp2)

考虑exp1。exp1是个函数，或者能被归约成函数的应用。如果exp1是应用，那么exp1要么会归约到一个函数，要么无限循环。如果exp1无限循环，就和我们的最短假设矛盾，所以exp1会归约到一个函数。如果exp1会归约到一个函数，那么和exp1是一个函数没什么区别。简单考虑，假设exp1是个函数：

exp1 := (lambda (x) body)

那么

(exp1 exp2)
== ((lambda (x) body) exp2)
=  body[x <- exp2]

为了让表达式无限循环，我们希望：

(exp1 exp2) == body[x <- exp2]

所以body应该是个应用:

body := (subexp1 subexp2)

<=> (exp1 exp2) == (subexp1[x <- exp2] subexp2[x <- exp2])

<=> exp1 == subexp1[x <- exp2]  and  exp2 == subexp2[x <- exp2]

从最后一个条件可以推出：

exp2 == subexp2[x <- exp2]  <=>  subexp2 == x

另外还能看出，表达式exp1中包含了一个和exp2相等的子表达式。满足这个条件的最简单的exp1就是和exp2相等的exp1。

exp1 == exp2
<=> subexp1[x <- exp2] == exp2
<=> subexp1 == x

综合几个条件：

exp1

== (lambda (x) body)
== (lambda (x) (subexp1 subexp2))
== (lambda (x) (x x))
 
exp2
== exp1
== (lambda (x) (x x))

于是我们要找的无限循环的表达式是:

((lambda (x) (x x)) (lambda (x) (x x)))

这个表达式就是lambda演算里的\(\Omega\)表达式。\(\Omega\)表达式循环的关键在于(f f)形式的表达式，即自己应用到自己。\(\Omega\)包含了三个(f f)形式的表达式。

寻找 Y combinator

一般来说，递归函数长这个样子：

target := (lambda args body[target])

body[target]的意思是一个包含target这个符号的表达式，args表示这是一个任意个数参数的函数。在这个表达式中，target是一个无约束的符号。一个包含无约束符号的表达式不能被求值。Lambda演算中约束一个符号的方法是用lambda关键字，为了让target变成约束符号，我们改写表达式：

p := (lambda (target)
       (lambda args body[target]))

   = (lambda (f)

       (lambda args body[f]))

为了避免混淆，上面将target改名成f（\(\alpha\)归约），target仍然表示我们想要的递归函数的表达式。target和p有如下关系：

(p target)
= (lambda args body[target])
= target

顺便一提，可以看出我们在寻找的target是p的一个不动点。

接下来考虑如何找target。记得寻找\(\Omega\)的启发吗？我们猜测target是一个(g g)形式的表达式：

target == (g g)
=>
  (p target) = target
  <=> (p (g g)) = (g g)
  <=> (g g) = (p (g g)) = ((lambda (x) (p (x x))) g)

根据最后一个条件可以看出：

g := (lambda (x) (p (x x)))
=>
  target == (g g)
  == ((lambda (x) (p (x x)))
        (lambda (x) (p (x x))))

把p提取到参数位置：

target =
((lambda (f)
   ((lambda (x) (f (x x)))
    (lambda (x) (f (x x))))) p)
 
Y :=
(lambda (f)
  ((lambda (x) (f (x x)))
   (lambda (x) (f (x x)))))
 
target = (Y p)

这个Y就是Y combinator。

用 Y combinator 推导出 \(\Omega\)

最简单的无限循环函数是：

f := (lambda () (f))

利用Y combinator来生成这个函数的lambda表达式看看会得到什么？

(Y (lambda (f) (lambda () (f))))
= ((lambda (x) ((lambda (f) (lambda () (f))) (x x)))
   (lambda (x) ((lambda (f) (lambda () (f))) (x x))))
= ((lambda (x) (lambda () ((x x))))
   (lambda (x) (lambda () ((x x)))))

呼，要对齐这么多括弧真不容易。注意到（\(\eta\)归约）：

(lambda () ((x x))) = (x x)

所以:

(Y (lambda (f) (lambda () (f))))
= ((lambda (x) (x x)) (lambda (x) (x x)))