如何猜出 Y combinator
先约定几个记号:
- 定义用一个冒号加等号表示“:=”,
- 表达式全等用两个等号表示“==”,
- 归约意义上的相等用一个等号表示“=”,“==”蕴涵“=”。
由于lambda演算不能定义符号,所以像这样的递归定义是不能被求值的:
f := (lambda () (f))
如何在lambda验算中实现递归?从最简单的递归函数开始。希望能带来一些启发。
寻找 \(\Omega\)
首先,我们的目标是找出一个无限循环的lambda表达式。另外额外要求这个表达式最短。
一个lambda表达式只可能有三种形式:
- 符号(x, y, z等等),
- 函数(如(lambda (x) x)),
- 应用(英文application,即函数调用,如调用函数func,参数x写作:(func x))。
第1、2种形式又称为值(value),因为他们不能被归约了。一个无限循环的表达式只能是第3种形式:
(exp1 exp2)
考虑exp1。exp1是个函数,或者能被归约成函数的应用。如果exp1是应用,那么exp1要么会归约到一个函数,要么无限循环。如果exp1无限循环,就和我们的最短假设矛盾,所以exp1会归约到一个函数。如果exp1会归约到一个函数,那么和exp1是一个函数没什么区别。简单考虑,假设exp1是个函数:
exp1 := (lambda (x) body)
那么
(exp1 exp2)
== ((lambda (x) body) exp2)
= body[x <- exp2]
为了让表达式无限循环,我们希望:
(exp1 exp2) == body[x <- exp2]
所以body应该是个应用:
body := (subexp1 subexp2)
<=> (exp1 exp2) == (subexp1[x <- exp2] subexp2[x <- exp2])
<=> exp1 == subexp1[x <- exp2] and exp2 == subexp2[x <- exp2]
从最后一个条件可以推出:
exp2 == subexp2[x <- exp2] <=> subexp2 == x
另外还能看出,表达式exp1中包含了一个和exp2相等的子表达式。满足这个条件的最简单的exp1就是和exp2相等的exp1。
exp1 == exp2
<=> subexp1[x <- exp2] == exp2
<=> subexp1 == x
综合几个条件:
exp1
== (lambda (x) body)
== (lambda (x) (subexp1 subexp2))
== (lambda (x) (x x)) exp2
== exp1
== (lambda (x) (x x))
于是我们要找的无限循环的表达式是:
((lambda (x) (x x)) (lambda (x) (x x)))
这个表达式就是lambda演算里的\(\Omega\)表达式。\(\Omega\)表达式循环的关键在于(f f)形式的表达式,即自己应用到自己。\(\Omega\)包含了三个(f f)形式的表达式。
寻找 Y combinator
一般来说,递归函数长这个样子:
target := (lambda args body[target])
body[target]的意思是一个包含target这个符号的表达式,args表示这是一个任意个数参数的函数。在这个表达式中,target是一个无约束的符号。一个包含无约束符号的表达式不能被求值。Lambda演算中约束一个符号的方法是用lambda关键字,为了让target变成约束符号,我们改写表达式:
p := (lambda (target)
(lambda args body[target]))
= (lambda (f)
(lambda args body[f]))
为了避免混淆,上面将target改名成f(\(\alpha\)归约),target仍然表示我们想要的递归函数的表达式。target和p有如下关系:
(p target)
= (lambda args body[target])
= target
顺便一提,可以看出我们在寻找的target是p的一个不动点。
接下来考虑如何找target。记得寻找\(\Omega\)的启发吗?我们猜测target是一个(g g)形式的表达式:
target == (g g)
=>
(p target) = target
<=> (p (g g)) = (g g)
<=> (g g) = (p (g g)) = ((lambda (x) (p (x x))) g)
根据最后一个条件可以看出:
g := (lambda (x) (p (x x)))
=>
target == (g g)
== ((lambda (x) (p (x x)))
(lambda (x) (p (x x))))
把p提取到参数位置:
target =
((lambda (f)
((lambda (x) (f (x x)))
(lambda (x) (f (x x))))) p) Y :=
(lambda (f)
((lambda (x) (f (x x)))
(lambda (x) (f (x x))))) target = (Y p)
这个Y就是Y combinator。
用 Y combinator 推导出 \(\Omega\)
最简单的无限循环函数是:
f := (lambda () (f))
利用Y combinator来生成这个函数的lambda表达式看看会得到什么?
(Y (lambda (f) (lambda () (f))))
= ((lambda (x) ((lambda (f) (lambda () (f))) (x x)))
(lambda (x) ((lambda (f) (lambda () (f))) (x x))))
= ((lambda (x) (lambda () ((x x))))
(lambda (x) (lambda () ((x x)))))
呼,要对齐这么多括弧真不容易。注意到(\(\eta\)归约):
(lambda () ((x x))) = (x x)
所以:
(Y (lambda (f) (lambda () (f))))
= ((lambda (x) (x x)) (lambda (x) (x x)))
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