3.27模拟赛 sutoringu(后缀数组)

\(\color{white}{mjt是机房模拟赛独自切过题的唯一的人...}\)

（应本人要求删掉惹）

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\(Description\)

给你\(n,k\)和长为\(n\)的字符串\(s\)。一个区间\([l,r]\)是合法的，当且仅当\(s[l...r]\)能被分成\(k\)个相同的子串。求有多少个合法区间。

\(n,k\leq3\times10^5\)。

\(Solution\)

枚举单个子串的长度\(len\)，在\(s\)上从\(1\)开始每隔\(len\)个位置放一个关键点，分成若干块。

考虑相邻\(k\)个关键点，以它们开头的\(k\)个子串是否相同。如果它们两两之间的\(LCP\)都\(\geq len\)，显然是合法的。考虑怎么求这\(k\)个位置的\(LCP\)。

建\(SA\)，\(LCP\)是两两\(rk\)之间的最小值，也就是区间\([\min\{rk\},\max\{rk\}]\)之间的最小值。用\(set\)动态维护一下，查询\(LCP\)就是\(O(1)\)的了。

需要枚举\(O(n\log n)\)次，这样这部分复杂度是\(O(n\log^2n)\)。

还有左右端点在块内的情况，也就是跨过了\(k-1\)个整块。容易发现这\(k-1\)块的子串一定需要是相同的。同样用\(SA\)和\(set\)先判一下。

设左端点\(l\)在第\(p\)块内，右端点\(r\)在\(p+k\)块内。记\(L[p],R[p]\)分别为第\(p\)块的左右端点，可以发现合法的\(l\)范围是前缀\(R[p]\)与\(R[p+1]\)的最长公共后缀，可以反着建个\(SA\)求出来，设为\(a\)。同理合法\(r\)的范围是后缀\(L[p+k]\)与\(L[p+k-1]\)的最长公共前缀，设为\(b\)（注意与\(len-1\)取\(\min\)）。

\(r\)的长度需要在\([len-a,len-1]\)之间，所以此时合法的区间个数就是\(b-len+a+1\)。

复杂度也是\(O(n\log^2n)\)。

**ps: **不知道标算是啥...（好像是SAM+主席树）这是\(\color{red}{\text{m}}\color{black}{\text{jt}}\)的做法。

这个其实和优秀的拆分差不多...但是考场都忘了啊=-=

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#include <set>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rg register
#define Rev(x) (n-(x)+1)
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=3e5+5;

int s[N],Log[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Suffix_Array
{
	int sa[N],rk[N],sa2[N],tm[N],ht[N],mn[19][N];
	inline int LCP(int l,int r)
	{
		l=rk[l], r=rk[r]; if(l>r) std::swap(l,r);
		++l; int k=Log[r-l+1];
		return std::min(mn[k][l],mn[k][r-(1<<k)+1]);
	}
	inline int LCP2(int l,int r)
	{
		if(l==r) return N;
		++l; int k=Log[r-l+1];
		return std::min(mn[k][l],mn[k][r-(1<<k)+1]);
	}
	void Build(int *s,int n)
	{
		int *x=rk,*y=sa2,m=27;
		for(int i=0; i<=m; ++i) tm[i]=0;
		for(int i=1; i<=n; ++i) ++tm[x[i]=s[i]+1];
		for(int i=1; i<=m; ++i) tm[i]+=tm[i-1];
		for(int i=n; i; --i) sa[tm[x[i]]--]=i;
		for(int k=1,p=0; k<n; k<<=1,m=p,p=0)
		{
			for(int i=n-k+1; i<=n; ++i) y[++p]=i;
			for(int i=1; i<=n; ++i) if(sa[i]>k) y[++p]=sa[i]-k;

			for(int i=0; i<=m; ++i) tm[i]=0;
			for(int i=1; i<=n; ++i) ++tm[x[i]];
			for(int i=1; i<=m; ++i) tm[i]+=tm[i-1];
			for(int i=n; i; --i) sa[tm[x[y[i]]]--]=y[i];

			std::swap(x,y), x[sa[1]]=p=1;
			for(int i=2; i<=n; ++i)
				x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?p:++p;
			if(p>=n) break;
		}
		for(int i=1; i<=n; ++i) rk[sa[i]]=i;
		ht[1]=0;
		for(int i=1,k=0; i<=n; ++i)
		{
			if(rk[i]==1) continue;
			if(k) --k;
			int p=sa[rk[i]-1];
			while(i+k<=n && p+k<=n && s[i+k]==s[p+k]) ++k;
			ht[rk[i]]=k;
		}
		for(int i=1; i<=n; ++i) mn[0][i]=ht[i];
		for(int j=1; j<=Log[n]; ++j)
			for(int t=1<<j-1,i=n-t; i; --i)
				mn[j][i]=std::min(mn[j-1][i],mn[j-1][i+t]);
	}
}sa1,sa2;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	freopen("sutoringu.in","r",stdin);
	freopen("sutoringu.out","w",stdout);

	const int n=read(),K=read();
	register char c=gc(); while(!isalpha(c)) c=gc(); s[1]=c-'a';
	for(rg int i=2; i<=n; ++i) s[i]=gc()-'a', Log[i]=Log[i>>1]+1;
	sa1.Build(s,n), std::reverse(s+1,s+1+n), sa2.Build(s,n);
	LL ans=0;
	for(int len=1; len*K<=n; ++len)
	{
		std::set<int> st;//直接新开一个
		for(int t=K-1,i=1; t--; i+=len) st.insert(sa1.rk[i]);
		for(int t=(K-1)*len,i=t+1; i+len-1<=n; i+=len)
		{
			st.insert(sa1.rk[i]);
			ans+=sa1.LCP2(*st.begin(),*st.rbegin())>=len;
			st.erase(sa1.rk[i-t]);
		}
		if(len==1) continue;
		std::set<int> st2;
		for(int t=K-1,i=len+1; t--; i+=len) st2.insert(sa1.rk[i]);
		for(int i=K*len+1,j=len; i<=n; i+=len,j+=len)
		{
			if(sa1.LCP2(*st2.begin(),*st2.rbegin())>=len)
			{
				int a=std::min(sa2.LCP(Rev(j),Rev(j+len)),len-1),b=std::min(sa1.LCP(i,i-len),len-1);//rev!
				ans+=std::max(0,b-len+a+1);
			}
			st2.erase(sa1.rk[j+1]), st2.insert(sa1.rk[i]);
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}