Schur不等式（舒尔不等式）
舒尔（
Schur
\texttt{Schur}
Schur）不等式1
具体内容
Schur
\texttt{Schur}
Schur 不等式：
x
，
y
，
z
x，y，z
x，y，z 为非负实数，
r
r
r 为实数时，下列不等式成立
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\ge 0
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)≥0
例子
- r
=
0
r=0
r=0 时
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
(x-y)(x-z)+(y-x)(y-z)+(z-x)(z-y)\ge 0
(x−y)(x−z)+(y−x)(y−z)+(z−x)(z−y)≥0
⇔
x
2
+
y
2
+
z
2
−
x
y
−
y
z
−
z
x
≥
0
\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge 0
⇔x2+y2+z2−xy−yz−zx≥0
⇔
1
2
{
(
x
−
y
)
2
+
(
y
−
z
)
2
+
(
z
−
x
)
2
}
≥
0
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\} \ge 0
⇔21{(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2}≥0
- r
=
1
r=1
r=1 时
x
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\ge 0
x(x−y)(x−z)+y(y−x)(y−z)+z(z−x)(z−y)≥0
⇔
x
3
+
y
3
+
z
3
+
3
x
y
z
≥
x
y
(
x
+
y
)
+
y
z
(
y
+
z
)
+
z
x
(
z
+
x
)
\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
⇔x3+y3+z3+3xyz≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
- r
=
1
2
r=\dfrac{1}{2}
r=21 时
x
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
\sqrt{x}(x-y)(x-z)+\sqrt{y}(y-x)(y-z)+\sqrt{z}(z-x)(z-y)\ge 0
x
(x−y)(x−z)+y
(y−x)(y−z)+z
(z−x)(z−y)≥0
⇔
x
3
2
(
y
+
z
−
x
)
+
y
3
2
(
z
+
x
−
y
)
+
z
3
2
(
x
+
y
−
z
)
≤
x
y
z
(
1
x
+
1
y
+
1
z
)
\Leftrightarrow x^{\frac{3}{2}}(y+z-x)+y^{\frac{3}{2}}(z+x-y)+z^{\frac{3}{2}}(x+y-z)\le xyz\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)
⇔x23(y+z−x)+y23(z+x−y)+z23(x+y−z)≤xyz(x
1+y
1+z
1)
证明
证明：
左边是
x
,
y
,
z
x,y,z
x,y,z 的对称式，设
x
≥
y
≥
z
x\ge y\ge z
x≥y≥z 不失一般性．
r
>
0
r>0
r>0 时
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)
=
(
x
−
y
)
{
x
r
(
x
−
z
)
−
y
r
(
y
−
z
)
}
+
z
r
(
x
−
z
)
(
y
−
z
)
=(x-y)\{x^r(x-z)-y^r(y-z)\}+z^r(x-z)(y-z)
=(x−y){xr(x−z)−yr(y−z)}+zr(x−z)(y−z)
x
r
≥
y
r
≥
0
,
x
−
z
≥
y
−
z
≥
0
x^r\ge y^r \ge 0,\ x-z\ge y-z \ge 0
xr≥yr≥0, x−z≥y−z≥0
因为(
x
−
y
)
[
x
r
(
x
−
z
)
−
y
r
(
y
−
z
)
]
≥
0
，
(x-y)\left[x^r(x-z)-y^r(y-z)\right]\ge 0\text{，}
(x−y)[xr(x−z)−yr(y−z)]≥0，又因为
z
r
≥
0
,
x
−
z
≥
0
,
y
−
z
≥
0
,
z
r
(
x
−
z
)
(
y
−
z
)
≥
0
z^r\ge 0,\ x-z\ge 0,\ y-z \ge 0, z^r(x-z)(y-z)\ge 0
zr≥0, x−z≥0, y−z≥0,zr(x−z)(y−z)≥0根据
(
x
−
y
)
{
x
r
(
x
−
z
)
−
y
r
(
y
−
z
)
}
+
z
r
(
x
−
z
)
(
y
−
z
)
≥
0
(x-y)\{x^r(x-z)-y^r(y-z)\}+z^r(x-z)(y-z)\ge 0
(x−y){xr(x−z)−yr(y−z)}+zr(x−z)(y−z)≥0所以，
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\ge 0
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)≥0
r
≤
0
r\le 0
r≤0 时
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)
=
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
(
y
−
z
)
{
z
r
(
x
−
z
)
−
y
r
(
x
−
y
)
}
=x^r(x-y)(x-z)+(y-z)\{z^r(x-z)-y^r(x-y)\}
=xr(x−y)(x−z)+(y−z){zr(x−z)−yr(x−y)}同理可得，
x
r
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
r
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
r
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
≥
0
x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y)\ge 0
xr(x−y)(x−z)+yr(y−x)(y−z)+zr(z−x)(z−y)≥0
例题
1
a
,
b
,
c
a,b,c
a,b,c 为非负实数时，请证明以下不等式。
(
a
+
b
−
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
≤
a
b
c
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc
(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)≤abc
2 非负实数
a
,
b
,
c
a,b,c
a,b,c 有
a
+
b
+
c
=
1
a+b+c=1
a+b+c=1，请证明以下不等式。
a
3
+
b
3
+
c
3
+
6
a
b
c
≥
1
4
a^3+b^3+c^3+6abc\ge \frac{1}{4}
a3+b3+c3+6abc≥41
广告
绿树公司 - 官方网站：https://wangping-lvshu.github.io/LvshuNew/
绿树智能 - 官方网站：https://wangping-lvshu.github.io/LvshuZhineng/
(现在使用，人人均可获得300元大奖)
[2022/04/09更新] 由于
tag
\texttt{tag}
tag 中没有
数论数学等标签，所以现在的标签是错误的。 ︎
Schur不等式（舒尔不等式）的更多相关文章
- MT【19】舒尔不等式设计理念及证明
评:舒尔的想法是美妙的,当然他本身也有很多意义,在机械化证明的理念里,它也占据了一方田地.
- MT【200】一道自招的不等式
(2018武汉大学自招)设$x,y,z\ge0,xy+yz+zx=1$证明:$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge \dfrac{5}{2}$ ...
- 机器学习数学|微积分梯度jensen不等式
机器学习中的数学 觉得有用的话,欢迎一起讨论相互学习~Follow Me 原创文章,如需转载请保留出处 本博客为七月在线邹博老师机器学习数学课程学习笔记 索引 微积分,梯度和Jensen不等式 Tay ...
- 四边形不等式优化DP——石子合并问题 学习笔记
好方啊马上就要区域赛了连DP都不会QAQ 毛子青<动态规划算法的优化技巧>论文里面提到了一类问题:石子合并. n堆石子.现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的 ...
- Codeforces Round #359(div 2)
A:= v = B:^ w ^ C:一天n个小时,一个小时m分(n,m十进制),一个手表有两部分,左边表示时,右边表示分,但都是7进制,而且手表上最多只能有7个数字且数字不能重复,现在要你算出能正确表 ...
- 【转载】VC维的来龙去脉
本文转载自 火光摇曳 原文链接:VC维的来龙去脉 目录: 说说历史 Hoeffding不等式 Connection to Learning 学习可行的两个核心条件 Effective Number o ...
- Expectation Maximization and GMM
Jensen不等式 Jensen不等式给出了积分的凸函数值必定大于凸函数(convex)的积分值的定理.在凸函数曲线上的任意两点间连接一条线段,那么线段会位于曲线之上,这就是将Jensen不等式应用到 ...
- [物理学与PDEs]第2章第4节 激波 4.2 熵条件
1. R.H. 条件仅仅给出了越过激波时的能量守恒定律, 即热力学第一定律; 但客观的流体运动过程还需满足热力学第二定律, 即越过激波是个熵增过程: $$\bex S_1>S_0\quad(0 ...
- VC维的来龙去脉——转载
VC维的来龙去脉——转载自“火光摇曳” 在研究VC维的过程中,发现一篇写的很不错的VC维的来龙去脉的文章,以此转载进行学习. 原文链接,有兴趣的可以参考原文进行研究学习 目录: 说说历史 Hoeffd ...
随机推荐
- python爬取豆瓣电影Top250（附完整源代码）
初学爬虫,学习一下三方库的使用以及简单静态网页的分析.就跟着视频写了一个爬取豆瓣Top250排行榜的爬虫. 网页分析 我个人感觉写爬虫最重要的就是分析网页,找到网页的规律,找到自己需要内容所在的地方, ...
- 【PyHacker编写指南】打造URL批量采集器
这节课是巡安似海PyHacker编写指南的<打造URL批量采集器> 喜欢用Python写脚本的小伙伴可以跟着一起写一写呀. 编写环境:Python2.x 00x1: 需要用到的模块如下: ...
- 用简单的 Node.js 后台程序浅析 HTTP 请求与响应
用简单的 Node.js 后台程序浅析 HTTP 请求与响应 本文写于 2020 年 1 月 18 日 我们来看两种方式发送 HTTP 请求,一种呢,是命令行的 curl 命令:一种呢是直接在浏览器的 ...
- 为什么说 Gradle 是 Android 进阶绕不去的坎 —— Gradle 系列(1)
请点赞,你的点赞对我意义重大,满足下我的虚荣心. Hi,我是小彭.本文已收录到 GitHub · Android-NoteBook 中.这里有 Android 进阶成长知识体系,有志同道合的朋友,欢迎 ...
- strlen获取字符数组为什么是255
为什么是255呢? strlen函数的规则是,读取到0则判断字符串结束. char为1字节,只有8位. 所以...... -1就是 1111 1111, -2就是 1111 1110, 直到-128: ...
- 基于.NetCore开发博客项目 StarBlog - (7) 页面开发之文章详情页面
系列文章 基于.NetCore开发博客项目 StarBlog - (1) 为什么需要自己写一个博客? 基于.NetCore开发博客项目 StarBlog - (2) 环境准备和创建项目 基于.NetC ...
- ATM+购物车项目流程
目录 需求分析 架构设计 功能实现 搭建文件目录 conf配置文件夹 lib公共功能文件夹 db数据文件夹 interface业务逻辑层文件夹 core表现层文件夹 测试 最外层功能(src.py) ...
- Jwt隐藏大坑，通过源码帮你揭秘
前言 JWT是目前最为流行的接口认证方案之一,有关JWT协议的详细内容,请参考:https://jwt.io/introduction 今天分享一下在使用JWT在项目中遇到的一个问题,主要是一个协议的 ...
- 测试平台系列(95) 前置条件支持简单的python脚本
大家好~我是米洛! 我正在从0到1打造一个开源的接口测试平台, 也在编写一套与之对应的教程,希望大家多多支持. 欢迎关注我的公众号米洛的测开日记,获取最新文章教程! 回顾 上一节我们构思了一下怎么去支 ...
- 盘点微信小程序跨页面传值的若干方式
直接给大家上干货 1.跳转页面传递参数 pageA.wxml <button type="primary" bindtap="jumpTo">点击跳 ...