整数划分问题(Java递归)
整数划分问题(Java递归)
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0、 问题描述
整数划分问题
将正整数n表示成一系列正整数之和:n=n1+n2+…+nk,其中n1≥n2≥…≥nk≥1,k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。
样例
例如正整数6有如下11种不同的划分:
6;
5+1;
4+2, 4+1+1;
3+3, 3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1
1、递归式
在本例中,如果设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递归关系,因此考虑增加一个自变量:将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
q(n,1)=1, n>=1
当最大加数n1不大于1时,任何正整数n只有一种划分形式,
即n=1+1+1+…+1;
q(n,m)=q(n,n), m>=n
最大加数n1实际上不能大于n。因此,q(1,m)=1。
q(n,n)=1+q(n,n-1)
正整数n的划分由n1=n的划分和n1≤n-1的划分组成。
q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1
正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和
n1≤m-1 的划分组成。
递归关系如下:
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
递归图
2、代码
对于一个给定的n(n>=1),计算最大加数不超过m的方案数量
public class Solution {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int[] arr = new int[2];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = scanner.nextInt();
}
int x = arr[0];
int y = arr[1];
if (x < 1 || y < 1) {
System.out.println("你输入的参数中有非正整数,请返回后重新输入!");
return;
}
System.out.println("对于你输入的参数,求得的整数划分问题的解的个数为:" + helper(x, y));
}
public static int helper(int a, int b) {
if (a == 1 || b == 1)
return 1;
if (a < b)
return helper(a, a);
if (a == b)
return helper(a, b - 1) + 1;
return helper(a, b - 1) + helper(a - b, b);
}
}
3、参考
- 算法设计与分析(第4版)
结束!
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