最近公共祖先

最近公共祖先

定义：给定一颗有根树，若结点 z 既是 x 的祖先，也是 y 的祖先，则称 z 是 x，y 的公共祖先。在 x，y 所有的公共祖先中，深度最大的一个称为 x，y 的最近公共祖先，简称$LCA(x,y)$。

求解最近公共祖先一般有三种解法：向上标记法，树上倍增法和 Tarjan 算法。

1.向上标记法

即对于任何两个结点 x , y ，分别从x y 向上走并标记它们所有经过的节点，第一次相遇的节点即为最近公共祖先。其时间复杂度最坏为$O(n^2)$。

2.树上倍增法

树上倍增法在很多问题都有很广泛的应用，当然最近公共祖先也可以用树上倍增算法来求，其基本思想是：

设d[x]>=d[y]，其中d[x]表示x的深度，然后利用二进制思想，将x不断调整直至和y在同一深度，检查此时x和y是否相等，若相等即为最近公共祖先，否则将x，y一起向上调整直至相等，此时则为最近公共祖先。

该算法时间复杂度为：$O((n+m)logn)$具体代码（裸题，求权值）为：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=5e5+10;

int head[maxn],dis[maxn],d[maxn],f[maxn][20];

struct Edge

{

    int nex,to,val;

}edge[maxn<<1];

int T,t,n,m,tot;

queue<int> q;

void init()

{

    tot=0;

    memset(head,-1,sizeof(head));

    memset(d,0,sizeof(d));

}

void add(int from,int to,int val)

{

    edge[++tot].to=to;

    edge[tot].val=val;

    edge[tot].nex=head[from];

    head[from]=tot;

}

void bfs()

{

    q.push(1);

    d[1]=1;

    while(!q.empty())

    {

        int x=q.front();

        q.pop();

        for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nex)

        {

            int y=edge[i].to;

            if(d[y])    continue;

            d[y]=d[x]+1;

            dis[y]=dis[x]+edge[i].val;

            f[y][0]=x;

            for(int j=1;j<=t;++j)

                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];

            q.push(y);

        }

    }

}

int lca(int x,int y)

{

    if(d[x]<d[y])   swap(x,y);

    for(int i=t;i>=0;--i)

        if(d[f[x][i]]>=d[y])    x=f[x][i];

    if(x==y)   return x;

    for(int i=t;i>=0;--i){

        if(f[x][i]!=f[y][i]){

            x=f[x][i];

            y=f[y][i];

        }

    }

    return f[x][0];

}

int main()

{

    scanf("%d",&T);

    while(T--)

    {

        scanf("%d %d",&n,&m);

        t=(int)(log(n)/log(2))+1;

        init();

        for(int i=1;i<n;++i){

            int a,b,val;

            scanf("%d %d %d",&a,&b,&val);

            add(a,b,val);

            add(b,a,val);

        }

        bfs();

        for(int i=1;i<=m;++i){

            int x,y;

            scanf("%d %d",&x,&y);

            printf("%d\n",dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)]);

        }

    }

}

3.Tarjan算法

Tarjan算法本质上是用并查集对“向上标记法”的优化。它是一个离线算法（即将所有输入都输入完成后一起输出）；其时间复杂度为：$O(n+m)$。

该算法将树中所有结点分成了三类：访问并回溯过，访问但为回溯过，未访问三类。该三类点分别标记为2,1和0。该算法的思想是当一个结点被标记为2时，则将它所在集合合并到它的父节点所在的集合中，这就相当于每个完成回溯的结点都有一个指针指向其父节点，所以只需查询y所在集合的代表元素，就等价与从y一直向上走到一个开始递归但尚未回溯的结点，即$LCA(x,y)$。

还是上面的题面，看代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=5e4+10;

const int maxe=210;

const int inf=0x3f3f3f3f;

struct Edge

{

    int nex,to,val;

}edge[maxn<<1];

int T,n,m,t,tot;

int head[maxn],fa[maxn],v[maxn],dis[maxn],ans[maxe];

vector<int> query[maxn],query_id[maxn];

void init()

{

    tot=0;

    memset(head,-1,sizeof(head));

    memset(dis,0,sizeof(dis));

    memset(v,0,sizeof(v));

    for(int i=1;i<=n;++i){

        fa[i]=i;

        query[i].clear();

        query_id[i].clear();

    }

}

void add(int from,int to,int val)

{

    edge[++tot].to=to;

    edge[tot].val=val;

    edge[tot].nex=head[from];

    head[from]=tot;

}

void add_query(int x,int y,int id)

{

    query[x].push_back(y);

    query_id[x].push_back(id);

    query[y].push_back(x);

    query_id[y].push_back(id);

}

int ffind(int x)

{

    return x==fa[x]?x:fa[x]=ffind(fa[x]);

}

void tarjan(int x)

{

    v[x]=1;

    for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nex)

    {

        int y=edge[i].to;

        if(v[y])  continue;

        dis[y]=dis[x]+edge[i].val;

        tarjan(y);

        fa[y]=x;

    }

    for(int i=0;i<query[x].size();++i)

    {

        int y=query[x][i],id=query_id[x][i];

        if(v[y]==2){

            int lca=ffind(y);

            ans[id]=min(ans[id],dis[x]+dis[y]-2*dis[lca]);

        }

    }

    v[x]=2;

}

int main()

{

    scanf("%d",&T);

    while(T--)

    {

        scanf("%d %d",&n,&m);

        init();

        for(int i=1;i<n;++i){

            int a,b,val;

            scanf("%d %d %d",&a,&b,&val);

            add(a,b,val);

            add(b,a,val);

        }

        for(int i=1;i<=m;++i){

            int x,y;

            scanf("%d %d",&x,&y);

            if(x==y)    ans[i]=0;

            else{

                add_query(x,y,i);

                ans[i]=inf;

            }

        }

        tarjan(1);

        for(int i=1;i<=m;++i)

            printf("%d\n",ans[i]);

    }

    system("pause");

}