tyvj 1150 绳子围点 Pick定理 防溢出策略

P1150 - 绳子围点

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背景 Background

最近小小鱼在研究平面几何，遇到一个难题，怎么也想不出来，于是找到大牛你来帮他做。

描述 Description

给出平面上n个点，所有点的坐标都是整数，小小鱼用一条绳子围成一个封闭图形，把这些点全部围在里面，并且所用绳子长度最短。围好了之后，小小鱼想知道这条绳子总共围住了多少个横、纵坐标都为整数的点（包括给出的n个点和未给出的点，绳子刚好穿过的点也算围在内），但是数着满平面的点，小小鱼晕了过去>.<。

输入格式 InputFormat

第一行一个整数n（n<=200000），表示给出点的个数。
以下n行每行两个整数xi,yi（都在longint范围内），表示给出第i个点的坐标。

输出格式 OutputFormat

一行，一个整数，表示绳子所围住的横纵坐标都为整数的顶点个数。

样例输入 SampleInput [复制数据]

4
-1 -1
1 3
3 1
1 1

样例输出 SampleOutput [复制数据]

10

数据范围和注释 Hint

样例中最短的绳子围法是三个顶点分别为(-1,-1),(3,1),(1,3)的三角形
其中绳子围住了以下点：
(-1,-1),(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(1,2),(2,2),(3,1),(1,3)
总共10个。

答案可能超过longint的范围，需要用int64或long long。

来源 Source

小小鱼

 

 

pick定理S=I+（A/2）-1; 

 

s是面积，I是多边形内部整点，A是边上整点;

A 用GCD求，注意0的情况。

 

这道题是一道数据量极大，极易出现long long 溢出的题，下面就总结一下这类题要注意的：

1. 两个[-1e9,1e9]内的int相减会溢出，主要出现再几何题中
2. 如果在取模题目中，有减运算，注意最后要把他变成正数
3. 1e9的数据范围忌用double

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 210000
#define eps 1e-9
#define LL "%lld"
typedef long long qword;
int gcd(int x,int y)
{
        return (y==)?x:gcd(y,x%y);
}
struct point
{
        qword x,y;
}pl[MAXN],seq[MAXN];
bool cmp(const point & p1,const point &p2)
{
        if (p1.x==p2.x)return p1.y<p2.y;
        return p1.x<p2.x;
}
qword area(const point &p1,const point &p2,const point &p3)
{
        return ((qword)(p1.x-p2.x)*(p1.y-p3.y)-(qword)(p1.y-p2.y)*(p1.x-p3.x));
}
int main()
{
        freopen("input.txt","r",stdin);
        int n;
        int i,j;
        scanf("%d",&n);
        for (i=;i<n;i++)
        {
                scanf(LL LL,&pl[i].x,&pl[i].y);
        }
        sort(pl,&pl[n],cmp);
        seq[]=pl[];
        seq[]=pl[];
        int h=;
        int top=;
        for (i=;i<n;i++)
        {
                while (top>h && area(seq[top-],seq[top],pl[i])<=eps)
                {
                        top--;
                }
                seq[++top]=pl[i];
        }
        h=top;
        for (i=n-;i>=;i--)
        {
                while (top>h && area(seq[top-],seq[top],pl[i])<=eps)
                {
                        top--;
                }
                seq[++top]=pl[i];
        }
        top--;
/*        for (i=0;i<=top;i++)
        {
                printf("(%d,%d)",seq[i].x,seq[i].y);
        }*/
        qword S=;
        int x,y;
        point tp;
        tp.x=tp.y=;
        for (i=;i<top;i++)
        {
                S+=area(seq[],seq[i],seq[(i+)%(top+)]);
        }
        qword A=;
        for (i=;i<=top;i++)
        {
                x=seq[i].x-seq[(i+)%(top+)].x;
                y=seq[i].y-seq[(i+)%(top+)].y;
                x=abs(x);
                y=abs(y);
                if (!x)A+=y;
                else if (!y) A+=x;
                else A+=gcd(x,y);
        }
        //S=I+(A/2)-1
        qword I;
        I=(S-A+)/;
        cout<<I+A<<endl;;
}