[HNOI2012][BZOJ2732] 射箭 [二分+半平面交]

题面

BZOJ题面

思路

半平面交代码讲解戳这里，用的就是这道题

我们射箭的函数形如$y=Ax^2+Bx$

考虑每一个靶子$(x_0,y_1,y_2)$，实际上是关于$A,B$的不等式限制条件

我们只要求出有没有$(A,B)$满足所有$2*n$个限制条件就可以了

考虑一个限制条件$y_1\leq Ax_0^2+Bx_0\leq y_2$

把一个$x_0$除过去，可以得到$B$关于$A$的半平面两个：

$B\geq -x_0A+\frac{y_1}{x_0}$

$B\leq -x_0A+\frac{y_2}{x_0}$

实际上就是两条平行线（不过这个性质没什么用）

显然题目具有二分性，二分答案，每次对于前一部分的所有限制做半平面交即可

技巧

可以先把所有半平面（包括四个外围限制）排个序，然后每次二分求解的时候扫一遍提取出本次求解需要的

半平面交如果可以剩下一个点（本题是可以的），需要在判断点是否在线的右边的函数里面修改条件，不能包括点在线上的情况

半平面交模板参考这道题：所有线段有向，从a到b，半平面交求所有有向线段的左边半平面的交，外围框子是逆时针的

同一份半平面交里面的所有点线关系都是一致的（都是左边or右边）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<cmath>
#define eps 1e-18
#define inf 1e33
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
	int re=0,flag=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') flag=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return re*flag;
}
inline bool sign(long double x){
	if(x>eps) return 1;
	if(x<-eps) return -1;
	return 0;
}
int n,m;
struct node{
	long double x,y;
	node(long double xx=0.0,long double yy=0.0){x=xx;y=yy;}
	inline friend node operator +(const node &a,const node &b){return node(a.x+b.x,a.y+b.y);}
	inline friend node operator -(const node &a,const node &b){return node(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	inline friend node operator *(const node &a,const long double &b){return node(a.x*b,a.y*b);}
	inline friend long double operator *(const node &a,const node &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
	inline friend long double operator /(const node &a,const node &b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
	inline friend long double slope(const node &a,const node &b){return atan2l(a.y-b.y,a.x-b.x);}
}rt[300010];
struct seg{
	node a,b;long double k;int id;
	seg(node aa=node(),node bb=node()){a=aa;b=bb;k=slope(aa,bb);id=0;}
	seg(node aa,node bb,long double kk){a=aa;b=bb;k=kk;id=0;}
	inline friend bool operator <(const seg &a,const seg &b){return a.k<b.k;}
	inline friend node cross(const seg &a,const seg &b){
		long double v1=(a.a-b.b)*(a.b-b.b);
		long double v2=(a.a-b.a)*(a.b-b.a);
		return b.b+(b.a-b.b)*(v1/(v1-v2));
	}
	inline friend bool right(const node &a,const seg &b){
		return ((a-b.b)*(a-b.a))>eps;
	}
}lis[300010],a[300010],q[300010];
inline bool solve(int lim){
	int i,head=1,tail=0,flag,tot=0;
	for(i=1;i<=m;i++) if(lis[i].id<=lim) a[++tot]=lis[i];
	for(i=1;i<=tot;i++){
		flag=0;
		while((head<=tail)&&(!sign(a[i].k-q[tail].k))){
			if(right(q[tail].a,a[i])) tail--;
			else{flag=1;break;}
		}
		if(flag) continue;
		while(head<tail&&right(rt[tail],a[i])) tail--;
		while(head<tail&&right(rt[head+1],a[i])) head++;
		q[++tail]=a[i];
		if(head<tail) rt[tail]=cross(q[tail],q[tail-1]);
	}
	while(head<tail&&right(rt[tail],q[head])) tail--;
	while(head<tail&&right(rt[head+1],q[tail])) head++;
	return (tail-head>1);
}
const long double pi=acos(-1.0);
int main(){
	n=read();int i;long double x1,y1,y2;
	m=n<<1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		x1=read();y1=read();y2=read();
		lis[i]=seg(node(0,y1/x1),node(1,y1/x1-x1));
		lis[i+n]=seg(node(1,y2/x1-x1),node(0,y2/x1));
		lis[i].id=lis[i+n].id=i;
	}
	lis[++m]=seg(node(-1e12,1e12),node(-1e12,-1e12),pi/2.0);
	lis[++m]=seg(node(1e12,1e12),node(-1e12,1e12),0);
	lis[++m]=seg(node(1e12,-1e12),node(1e12,1e12),-pi/2.0);
	lis[++m]=seg(node(-1e12,-1e12),node(1e12,-1e12),pi);
	sort(lis+1,lis+m+1);
	int l=1,r=n,mid;
	while(l<r){
		mid=(l+r)>>1;mid++;
		if(solve(mid)) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<l<<'\n';
}