【POJ 1061】青蛙的约会
Description
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
Output
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
题意:
起点分别为x,y,一次分别往前跳m,n米,前进的路是环形,长度为L,求跳几次后重合,或不可能重合。
分析:
重合时跳了t次,可得(x+mt)%L=(y+nt)%L
因此x-y+(m-n)t=kL (其中k为一个整数)即
Lk+(n-m)t=x-y
形式上和 ax+ by=c 相同
这个式子里L、n-m、x-y分别为系数a、b、c,未知量k和t为方程的x和y,因此只要求解不定方程ax+by=c的y的最小正整数解即可。
接下来要用到扩展欧几里德算法解同余线性方程。
求出ax+by=c的一个解后,y可能小于0,而通解是x=x0+b/gcd(a,b),y=y0+a/gcd(a,b);
d=gcd(a,b);最小正整数的y=(y0%(a/d)+a/d)%(a/d)
这个的理解可以举个例子:y0=-12,a/d=8,y1=y+8=-4,y2=y0+2*8=4,y2为y的最小正整数解,y2=(y0%8+8)%8=4%8=4。
代码:
//直接模拟TLE,要用扩展欧几里德求解同余线性方程,ヽ(≧Д≦)ノ
#include<stdio.h>
#define ll long long
ll x,y,m,n,l,t,p,q;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==){x=;y=;return a;}
ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
ll tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
return r;
}
void modular_linear_equation(ll a,ll b,ll c)
{
ll x,y,d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)printf("Impossible\n");
else printf("%lld",((y*c/d)%(a/d)+a/d)%(a/d));
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
modular_linear_equation(l,n-m,x-y);
return ;
}
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