Luogu 1111 修复公路(最小生成树)
Luogu 1111 修复公路(最小生成树)
Description
A地区在地震过后,连接所有村庄的公路都造成了损坏而无法通车。政府派人修复这些公路。
给出A地区的村庄数N,和公路数M,公路是双向的。并告诉你每条公路的连着哪两个村庄,并告诉你什么时候能修完这条公路。问最早什么时候任意两个村庄能够通车,即最早什么时候任意两条村庄都存在至少一条修复完成的道路(可以由多条公路连成一条道路)
Input
第1行两个正整数N,M
下面M行,每行3个正整数x, y, t,告诉你这条公路连着x,y两个村庄,在时间t时能修复完成这条公路。
Output
如果全部公路修复完毕仍然存在两个村庄无法通车,则输出-1,否则输出最早什么时候任意两个村庄能够通车。
Sample Input
4 4
1 2 6
1 3 4
1 4 5
4 2 3
Sample Output
5
Http
Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1111
Source
最小生成树 并查集
题目大意
求图中满足所有点联通的边的集合中最大值最下(说得简单点,就是求一个图的最小生成树并输出树上的最大边)
解决思路
首先用克鲁斯卡尔算法求出最小生成树,具体做法是:
- 将所有的边按照边权值从小到大排序
- 从第一条边开始枚举,每次判断这条边的两端点,若都已经在一个连通块里了,跳过,若不在,连接这条边并合并这两个连通块
- 持续上述操作,直到连接了n-1条边(为什么是n-1条呢?因为一棵树的边就是n-1条啊)或是所有的边都扫描过了(此时代表无解,原图不连通)
那么现在的问题就是如何判断两个点已经在同一连通块中了呢?
没错!我们用并查集来判断连通块。
定义一个F[i](代码中用Mayuri[i])来表示i所属的并查集编号。开始时每一个点都是一个孤立的连通块,所以每一个F[i]=i。在合并两个点u,v时,只要将u,v所在的并查集合并就可以将两个连通块合并了,具体操作就是将F[u]置为F[v],但这样是有问题的,因为u所在的并查集编号并不一定是F[u],所以要一直向上搜寻,我们用一个Find()函数来表示,递归地找到最早的编号。
但是这样有可能出现树退化成链表的情况,所以在Find函数查找时,顺便压缩路径(具体请看代码)
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
class Road
{
public:
int u,v,w;
};
bool operator < (Road a,Road b)//因为要排序,所以重载一下小于运算符
{
return a.w<b.w;
}
const int maxN=2000;
const int maxM=101000;
const int inf=2147483647;
int n,m;
int Mayuri[maxN];
Road E[maxM];
int Find(int x);
int main()
{
int Ans=0;
int cnt=0;
cin>>n>>m;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>E[i].u>>E[i].v>>E[i].w;
}
sort(&E[1],&E[m+1]);
for (int i=1;i<=n;i++)//并查集初始化
Mayuri[i]=i;
int i=0;
do
{
i++;
int fu=Find(E[i].u);
int fv=Find(E[i].v);
if (fu!=fv)//如果u,v不在同一个连通块,就合并
{
cnt++;//统计选择了的边的个数,便于及时退出和判断是否有解
Ans=max(E[i].w,Ans);//更新答案
Mayuri[fu]=fv;
}
if (cnt==n-1)//当已经形成一个树时,及时退出循环
break;
}
while (i<m);
if (cnt==n-1)
cout<<Ans<<endl;
else
cout<<-1<<endl;
return 0;
}
int Find(int x)
{
if (Mayuri[x]!=x)
Mayuri[x]=Find(Mayuri[x]);//压缩路径,让每一个点都直接指向其并查集编号的那个点
return Mayuri[x];
}
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