【NOIP2016提高组】 Day2 T1 组合数问题
题目传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822 ↓题目大意↓
数据的极限范围:n,m≤2000,k≤21,数据组数≤10000。
由于此题k不大于21,故在计算组合数Cij时,并不需要存储它的真实数值,只需要存储其≤19的所有素因子的个数,判断Cij是否为k的倍数,仅需要判断Cij中各素因子的个数是否大于等于k中的个数即可。基于组合数的性质,我们如果要求出Cij,我们可以通过Ci(j-1)乘上i-j+1然后再除以j即可得到。
下面来考虑如何乘以或除以一个数x。若需要在Ci(j-1)的基础上乘以x,可以考虑将x分解质因数,仅将其≤19的全部素因子与Ci(j-1)的素因子个数进行累加。除法同理,加法改成减法即可。
最后维护一个二维数组b。若b[i][j]=1,则表示Cij是k的倍数。输入n,m时,将b[1..n][1..m]进行累加即可得出答案。很明显这么操作依然会TLE,使用另一数组维护b[i][j]的前缀和即可。
时间复杂度为O(n*m+T)。 但常数很大(本地均为0.3s左右)。
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #define M 2000
- using namespace std;
- int p[]={,,,,,,,};
- struct cg{
- int a[];
- cg(){memset(a,,sizeof(a));}
- cg(int x){
- for(int i=;i<;i++)
- while(x%p[i]==) a[i]++,x/=p[i];
- }
- friend cg operator *(cg a,int x){
- for(int i=;i<;i++)
- while(x%p[i]==) a.a[i]++,x/=p[i];
- return a;
- }
- friend cg operator /(cg a,int x){
- for(int i=;i<;i++)
- while(x%p[i]==) a.a[i]--,x/=p[i];
- return a;
- }
- friend bool operator +(cg a,int x){
- cg c=a;
- for(int i=;i<;i++)
- while(x%p[i]==){
- c.a[i]--;x/=p[i];
- if(c.a[i]<) return ;
- }
- return ;
- }
- }a[M+][M+];
- int b[M+][M+]={},k;
- void init(){
- for(int i=;i<=M;i++){
- int zhi=i>>;
- for(int j=;j<=zhi;j++)
- a[i][j]=a[i][i-j]=a[i][j-]*(i-j+)/j;
- }
- for(int i=;i<=M;i++){
- int zhi=i>>;
- for(int j=;j<=zhi;j++){
- b[i][j]=b[i][i-j]=a[i][j]+k;
- }
- }
- for(int i=;i<=M;i++)
- for(int j=;j<=M;j++){
- b[i][j]=b[i-][j]+b[i][j-]-b[i-][j-]+b[i][j];
- }
- }
- int main(){
- freopen("problem.in","r",stdin);
- freopen("problem.out","w",stdout);
- int cas; cin>>cas>>k;
- init();
- while(cas--){
- int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
- printf("%d\n",b[x][y]);
- }
- }
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