题目传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822                 ↓题目大意↓

数据的极限范围:n,m≤2000,k≤21,数据组数≤10000。

由于此题k不大于21,故在计算组合数Cij时,并不需要存储它的真实数值,只需要存储其≤19的所有素因子的个数,判断Cij是否为k的倍数,仅需要判断Cij中各素因子的个数是否大于等于k中的个数即可。基于组合数的性质,我们如果要求出Cij,我们可以通过Ci(j-1)乘上i-j+1然后再除以j即可得到。

下面来考虑如何乘以或除以一个数x。若需要在Ci(j-1)的基础上乘以x,可以考虑将x分解质因数,仅将其≤19的全部素因子与Ci(j-1)的素因子个数进行累加。除法同理,加法改成减法即可。

最后维护一个二维数组b。若b[i][j]=1,则表示Cij是k的倍数。输入n,m时,将b[1..n][1..m]进行累加即可得出答案。很明显这么操作依然会TLE,使用另一数组维护b[i][j]的前缀和即可。

时间复杂度为O(n*m+T)。 但常数很大(本地均为0.3s左右)。

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #define M 2000
  5. using namespace std;
  6. int p[]={,,,,,,,};
  7. struct cg{
  8. int a[];
  9. cg(){memset(a,,sizeof(a));}
  10. cg(int x){
  11. for(int i=;i<;i++)
  12. while(x%p[i]==) a[i]++,x/=p[i];
  13. }
  14. friend cg operator *(cg a,int x){
  15. for(int i=;i<;i++)
  16. while(x%p[i]==) a.a[i]++,x/=p[i];
  17. return a;
  18. }
  19. friend cg operator /(cg a,int x){
  20. for(int i=;i<;i++)
  21. while(x%p[i]==) a.a[i]--,x/=p[i];
  22. return a;
  23. }
  24. friend bool operator +(cg a,int x){
  25. cg c=a;
  26. for(int i=;i<;i++)
  27. while(x%p[i]==){
  28. c.a[i]--;x/=p[i];
  29. if(c.a[i]<) return ;
  30. }
  31. return ;
  32. }
  33. }a[M+][M+];
  34. int b[M+][M+]={},k;
  35.  
  36. void init(){
  37. for(int i=;i<=M;i++){
  38. int zhi=i>>;
  39. for(int j=;j<=zhi;j++)
  40. a[i][j]=a[i][i-j]=a[i][j-]*(i-j+)/j;
  41. }
  42. for(int i=;i<=M;i++){
  43. int zhi=i>>;
  44. for(int j=;j<=zhi;j++){
  45. b[i][j]=b[i][i-j]=a[i][j]+k;
  46. }
  47. }
  48. for(int i=;i<=M;i++)
  49. for(int j=;j<=M;j++){
  50. b[i][j]=b[i-][j]+b[i][j-]-b[i-][j-]+b[i][j];
  51. }
  52. }
  53.  
  54. int main(){
  55. freopen("problem.in","r",stdin);
  56. freopen("problem.out","w",stdout);
  57. int cas; cin>>cas>>k;
  58. init();
  59. while(cas--){
  60. int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
  61. printf("%d\n",b[x][y]);
  62. }
  63. }

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