BZOJ_4002_[JLOI2015]有意义的字符串_矩阵乘法
BZOJ_4002_[JLOI2015]有意义的字符串_矩阵乘法
Description
B 君有两个好朋友,他们叫宁宁和冉冉。有一天,冉冉遇到了一个有趣的题目:输入 b;d;n,求
Input
一行三个整数 b;d;n
Output
一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。
Sample Input
Sample Output
HINT
其中 0<b^2< = d<(b+1)2< = 10^18,n< = 10^18,并且 b mod 2=1,d mod 4=1
$通过通项式可以求出递推式,具体的,
有递推式Ax_n+Bx_{n-1}+Cx_{n-2}=0$
$用Ax^{2}+Bx+C=0解出x_1,x_2,那么通项为S_n=(k_1*x_1)^{n}+(k_2*x_2)^{n}$
$首先设S_n=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^{n}+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^{n}$
$x_1=\frac{b+\sqrt{d}}{2},x_2=\frac{b-\sqrt{d}}{2}$
$A=1,B=b,C=\frac{b^{2}-d}{4}$
$之后就可以用矩阵乘法求S_n了,并且我们发现(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^{n}的取值为[-1,1]$
$它对答案有贡献当且仅当n为偶数,b\not=\sqrt{d}$
代码:
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
typedef double du;
ll mod=7528443412579576937ll,b,d,n;
ll qc(ll x,ll y) {
ll re=0;
while(y>=1) {
if(y&1ll) re=(re+x)%mod;
x=(x+x)%mod;
y>>=1ll;
}
return re;
}
struct Mat {
ll v[2][2];
Mat(){memset(v,0,sizeof(v));}
Mat operator*(const Mat &x)const {
Mat re;int i,j,k;
for(i=0;i<2;i++) {
for(j=0;j<2;j++) {
for(k=0;k<2;k++) {
re.v[i][j]=(re.v[i][j]+qc(v[i][k],x.v[k][j]))%mod;
}
}
}
return re;
}
};
Mat qp(Mat x,ll y) {
Mat I;
I.v[0][0]=I.v[1][1]=1;
while(y>=1) {
if(y&1ll) I=I*x;
x=x*x;
y>>=1ll;
}
return I;
}
int main() {
scanf("%llu%llu%llu",&b,&d,&n);
Mat x;
x.v[0][0]=0; x.v[0][1]=(d-b*b)/4; x.v[1][0]=1; x.v[1][1]=b;
Mat T=qp(x,n);
ll ans=(qc(2,T.v[0][0])+qc(b,T.v[1][0]))%mod;
if(d!=b*b&&n%2==0) ans--;
printf("%llu\n",ans);
}
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