BZOJ_1778_[Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡_概率DP+高斯消元

BZOJ_1778_[Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡_概率DP+高斯消元

题意：

奶牛们建立了一个随机化的臭气炸弹来驱逐猪猡。猪猡的文明包含1到N (2 <= N <= 300)一共N个猪城。这些城市由M (1 <= M <= 44,850)条由两个不同端点A_j和B_j (1 <= A_j<= N; 1 <= B_j <= N)表示的双向道路连接。保证城市1至少连接一个其它的城市。一开始臭气弹会被放在城市1。每个小时（包括第一个小时），它有P/Q (1 <= P <=1,000,000; 1 <= Q <= 1,000,000)的概率污染它所在的城市。如果这个小时内它没有污染它所在的城市，那麽它随机地选择一条道路，在这个小时内沿着这条道路走到一个新的城市。可以离开这个城市的所有道路被选择的概率均等。因为这个臭气弹的随机的性质，奶牛们很困惑哪个城市最有可能被污染。给定一个猪猡文明的地图和臭气弹在每个小时内爆炸的概率。计算每个城市最终被污染的概率。如下例，假设这个猪猡文明有两个连接在一起的城市。臭气炸弹从城市1出发，每到一个城市，它都有1/2的概率爆炸。 1--2 可知下面这些路径是炸弹可能经过的路径（最后一个城市是臭气弹爆炸的城市）： 1: 1 2: 1-2 3: 1-2-1 4: 1-2-1-2 5: 1-2-1-2-1 ... 要得到炸弹在城市1终止的概率，我们可以把上面的第1，第3，第5……条路径的概率加起来，（也就是上表奇数编号的路径）。上表中第k条路径的概率正好是(1/2)^k，也就是必须在前k-1个回合离开所在城市（每次的概率为1 - 1/2 = 1/2）并且留在最后一个城市（概率为1/2）。所以在城市1结束的概率可以表示为1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + ...。当我们无限地计算把这些项一个个加起来，我们最后会恰好得到2/3，也就是我们要求的概率，大约是0.666666667。这意味着最终停留在城市2的概率为1/3，大约为0.333333333。

分析：设f[i]为炸弹在i点爆炸的概率。它等于所有与它连边的点的概率乘上炸弹不移动的概率乘上到这个点的概率的和。但我们发现状态之间的转移有环，这个状态能推出的状态会影响到它本身。
我们可以把每个f[i]当成未知数，每个转移当成方程，那么求f的过程就变成了解方程。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define du long double
#define N 400
#define M 50050
int head[N],to[M<<1],nxt[M<<1],cnt;
int n,m,out[N];
du p;
du a[N][N];
inline void add(int u,int v){
    to[++cnt]=v;nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
du Abs(du x){
    return x>0?x:-x;
}
void Guass(){
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++){
        int mx=i;
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            if(Abs(a[j][i])>Abs(a[mx][i]))mx=j;
        }
        if(mx!=i){
            for(j=i;j<=n+1;j++){
                swap(a[i][j],a[mx][j]);
            }
        }
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            du tmp=-a[j][i]/a[i][i];
            a[j][i]=0;
            for(k=i+1;k<=n+1;k++){
                a[j][k]+=tmp*a[i][k];
            }
        }
    }
    for(i=n;i;i--){
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];
        }
        a[i][n+1]/=a[i][i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        printf("%.9Lf\n",a[i][n+1]);
    }
}
int main(){
    int i,j,x,y;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
    p=1.0*x/y;
    for(i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
        out[x]++;out[y]++;
    }
    for(i=1;i<=n+1;i++){
        a[1][i]=1;
    }
    for(i=2;i<=n;i++){
        a[i][i]=1;
        for(j=head[i];j;j=nxt[j]){
            a[i][to[j]]=-(1-p)*1.0/out[to[j]];
        }
    }
    /*for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n+1;j++){
            printf("%.2lf ",a[i][j]);
        }
        puts("");
    }*/
    Guass();
}