Dijkstra在正权图上运行速度很快,但是它不能解决有负权的最短路,如下图:

Dijkstra运行的结果是(以1为原点):0 2 12 6 14;

但手算的结果,dist[4]的结果显然是5,为什么会出现这种情况呢?原因很显然,Dijkstra认为,从一个更长的边过来不会比一个更短的边过来更短(读起来很绕口,但请读者好好理解这句话!)但是由于出现了负权边,可以“救回来”,就像松弛2号节点一样。

Bellman_Ford:

知道了Dijkstra为什么不能做负权图之后,我们来看看Bellman-ford算法。它的基本思想是:图的最短路,既不会包含正环(可以不走),更不能有负环(否则一直走就可以无限小),因此最多经过n-1条边(每个节点都经过一次),bellman-ford实际上是枚举距离源点多少条边,尝试对每条边松弛的过程。请读者联系上图,自行推导一下Bellman_ford的运行过程

样例如下:

5 5
1 2 2
1 3 12
3 2 -13
2 4 4
3 5 2

朴素Bellman_Ford算法的时间复杂度是O(NM);程序如下:

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<queue>
  4. #include<cstring>
  5. using namespace std;
  6. int n,m,s,dist[],v[],w[],u[],cnt,x,y,z;
  7. void bellman_ford(int s)
  8. {
  9. memset(dist,,sizeof(dist));
  10. dist[s]=;
  11. for(int i=;i<=n-;i++)
  12. {
  13. for(int j=;j<=m;j++)
  14. {
  15. dist[v[j]]=min(dist[v[j]],dist[u[j]]+w[j]);
  16. }
  17. }
  18. }
  19. int main()
  20. {
  21. scanf("%d %d",&n,&m);
  22. for(int i=;i<=m;i++)
  23. {
  24. scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]);
  25. }
  26. bellman_ford();
  27. for(int i=;i<=n;i++)
  28. {
  29. cout<<dist[i]<<" ";
  30. }
  31. return ;
  32. }

SPFA:

SPFA是对Bellman_Ford算法的优化,它采用队列保存即将松弛其他点的节点,每次选与队首相连的点进行松弛,可以使用链式前向星(邻接表)实现,避免了Bellman_Ford算法许多无效的松弛操作,平均复杂度O(KM),K为平均松弛次数,也有可能被网格图卡回O(NM),是不稳定的算法。程序如下:

  1. #include<iostream>
  2. #include<cstdio>
  3. #include<queue>
  4. #include<cstring>
  5. using namespace std;
  6. int n,m,s,dist[],v[],w[],nxt[],head[],cnt,x,y,z;
  7. bool vis[];
  8. void add(int a,int b,int c)
  9. {
  10. v[++cnt]=b;
  11. w[cnt]=c;
  12. nxt[cnt]=head[a];
  13. head[a]=cnt;
  14. }
  15. void SPFA(int s)
  16. {
  17. memset(dist,,sizeof(dist));
  18. queue<int>q;
  19. dist[s]=;
  20. vis[s]=;
  21. q.push(s);
  22. while(!q.empty())
  23. {
  24. int c=q.front();
  25. q.pop();
  26. vis[c]=;
  27. for(int i=head[c];i;i=nxt[i])
  28. {
  29. int y=v[i];
  30. if(dist[y]>=dist[c]+w[i])
  31. {
  32. dist[y]=dist[c]+w[i];
  33. if(!vis[y])
  34. {
  35. q.push(y);
  36. vis[y]=;
  37. }
  38. }
  39. }
  40. }
  41. }
  42. int main()
  43. {
  44. scanf("%d %d",&n,&m);
  45. for(int i=;i<=m;i++)
  46. {
  47. scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
  48. add(x,y,z);
  49. }
  50. SPFA();
  51. for(int i=;i<=n;i++)
  52. {
  53. cout<<dist[i]<<" ";
  54. }
  55. return ;
  56. }

  

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