两类特殊的Nim游戏：Nim-K游戏与反Nim游戏

Nim-K游戏

描述

有\(n\)堆石子，每次可从\(k\)堆石子中拿走任意数量的石子。

两个人轮流拿，谁不能拿谁输。

先手必胜条件

把\(n\)堆石子的石子数用二进制表示，统计每一个二进制位上\(1\)的个数。

若每一位上\(1\)的个数\(\mod (k+1)\)全为\(0\)，则先手必败，否则先手必胜。

证明

类比：

一堆石子共\(n\)个，每次从最少取\(1\)个，最多取\(m\)个，取走最后一个石子的人获胜。

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反Nim游戏

描述

和最普通的Nim游戏相同，不过是取走最后一个石子的人输。

先手必胜条件

以下两个条件满足其一即可（事实上你并不可能同时满足233）：

1. 所有堆的石子个数\(=1\)，且异或和\(=0\)（其实这里就是有偶数堆的意思）。

2. 至少存在一堆石子个数\(>1\)，且异或和\(\neq 0\)。

证明

可以去看这篇博客。