两类特殊的Nim游戏:Nim-K游戏与反Nim游戏
Nim-K游戏
描述
有\(n\)堆石子,每次可从\(k\)堆石子中拿走任意数量的石子。
两个人轮流拿,谁不能拿谁输。
先手必胜条件
把\(n\)堆石子的石子数用二进制表示,统计每一个二进制位上\(1\)的个数。
若每一位上\(1\)的个数\(\mod (k+1)\)全为\(0\),则先手必败,否则先手必胜。
证明
类比:
一堆石子共\(n\)个,每次从最少取\(1\)个,最多取\(m\)个,取走最后一个石子的人获胜。
反Nim游戏
描述
和最普通的Nim游戏相同,不过是取走最后一个石子的人输。
先手必胜条件
以下两个条件满足其一即可(事实上你并不可能同时满足233):
所有堆的石子个数\(=1\),且异或和\(=0\)(其实这里就是有偶数堆的意思)。
至少存在一堆石子个数\(>1\),且异或和\(\neq 0\)。
证明
可以去看这篇博客。
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