RMQ问题(区间最值问题Range Minimum/Maximum Query)

    ST算法

    RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询,是指这样一个问题:对于长度为n的数列a,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i, j<=n),返回数列a中下标在i,j之间的最小/大值。如果只有一次询问,那样只有一遍for就可以搞定,但是如果有许多次询问就无法在很快的时间处理出来。在这里介绍一个在线算法。所谓在线算法,是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理,待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。

    假设a数组为:

    1, 3, 6, 7, 4, 2, 5

    1.预处理

    设dp[i][j]表示从第i位开始连续2^j个数中的最大值。例如dp[2][1]为第2位数开始连续2个的数的最大值,即6, 4之间的最大值,即mn[2][1] = 4。我们先初始化dp[0...n-1][0]为a数组中的值,之后我们很容易想到递推方程:

    dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << j - 1)][j - 1])


20000> 2**14 > 10000
  30000> 2**15 > 40000
  60000> 2**16 > 70000

1 for(int j = ; j < ; j ++)
for(int i = ; i + ( << j) <= n + ; i ++)
dp[i][j] = max(dp[i][j - ], dp[i + ( << (j - ))][j - ]);

    2.查询

    假设我们需要查询[lo, hi]之间的最值,我们令k = log2(hi-lo+1)

    由于k是 log2(hi-lo+1)向下取整得到的,所以无法完全覆盖lo到hi

    只要保证lo + k 的长度大于lo到hi的长度的1/2即可使用:RMQ[l, r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);

    

    因为不难看出,对于任意长度len,(int)log2(len) ** 2 > len/2

    所以最终代码如下:

 #include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
/*
20000> 2**14 > 10000
30000> 2**15 > 40000
60000> 2**16 > 70000
*/
int N[]; int mx[][]; int main()
{
int n,q;
scanf("%d", &n);
for(int i=;i<n;i++)
{
scanf("%d", &N[i]);
}
// ------------------------------- memset(mx, , sizeof(mx));
for(int i=;i<n;i++)
{
mx[i][] = N[i];
} for(int i=;i<;i++)
{
for(int j=;j+(<<i)-<n;j++)
{
mx[j][i] = max(mx[j][i-], mx[j+(<<i-)][i-]);
}
} // -------------------------------
scanf("%d", &q);
int lo, hi;
for(int i=;i<q;i++)
{
scanf("%d%d", &lo, &hi);
int k = (int)log2((double)(hi-lo+));
int ans = max(mx[lo][k], mx[hi-(<<k)+][k]);
printf("%d\n", ans);
}
}

当然也可以用线段树解决

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