【AGC006C】Rabbit Exercise 置换
题目描述
有\(n\)只兔子站在数轴上。为了方便,将这些兔子标号为\(1\ldots n\)。第\(i\)只兔子的初始位置为\(a_i\)。
现在这些兔子会按照下面的规则做若干套体操。每一套体操由\(m\)次跳跃组成;在第\(j\)次跳跃的时候,第\(c_j(2≤c_j≤n−1)\)只兔子会等概率随机选择第\(c_j−1\)或\(c_j+1\)只兔子中的一只(不妨设选择了第\(x\)只兔子),然后跳当前位置到关于第\(x\)只兔子对称的点。
这些兔子会按顺序做\(k\)套相同的体操。现在请你求出,每一只兔子做完\(k\)套体操之后最终位置坐标的期望值。
\(n,m\leq 100000,k\leq {10}^{18}\)
题解
每次操作\(a_x=\frac{1}{2}(2a_{x-1}-a_x)+\frac{1}{2}(2a_{x+1}-a_x)=a_{x-1}+a_{x+1}-a_x\)
可以发现这是一个线性变换,可以直接计算。
那么有什么规律吗?
假设有三个数\(a_1,a_2,a_3\),\(c_1=2\)。
变换后会得到\(a_1,a_1+a_3-a_2,a_3\)。
我们差分一下:
a_1,a_2,a_3&\rightarrow a_1,a_2-a_1,a_3-a_2\\
a_1,a_1+a_3-a_2,a_3&\rightarrow a_1,a_3-a_2,a_2-a_1
\end{align}
\]
相当于把\(a_{c_1},a_{c_1+1}\)交换了一下。
所以可以直接把\(m\)次操作看成\(m\)个交换,做完这些操作看成\(1\)到\(n\)的置换。把整个置换拆成很多个轮换,直接在每个轮换上面走\(k\)步就行了。
时间复杂度:\(O(n+m)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
ll a[100010];
int c[100010];
int b[100010];
int d[100010];
ll ans[100010];
int main()
{
#ifdef DEBUG
freopen("b.in","r",stdin);
freopen("b.out","w",stdout);
#endif
int n;
scanf("%d",&n);
int i;
ll sum=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
a[i]-=sum;
sum+=a[i];
c[i]=i;
}
int m;
ll k;
scanf("%d%lld",&m,&k);
int x;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&x);
swap(c[x],c[x+1]);
}
for(i=1;i<=n;i++)
if(!b[i])
{
int cnt=0;
int j;
for(j=i;!b[j];j=c[j])
{
b[j]=1;
d[++cnt]=j;
}
for(j=1;j<=cnt;j++)
ans[d[j]]=a[d[(j+k-1)%cnt+1]];
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
ans[i]+=ans[i-1];
printf("%lld.0\n",ans[i]);
}
return 0;
}
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