gcd与exgcd

gcd

辗转相除法求gcd证明

\(gcd(a, b) == gcd(b, a\%b)\)
证明:
设: \(d\)为\(a\)与\(b\)的一个公约数, 则有\(d|b\) \(d|a\)
设: \(a = k \times b + r\) 则有\(r = a \% b\)
\(r = a - kb\) 同除以\(d\)可得
\(r\over d\) \(=\) \(a\over d\) \(-\) \(kb\over d\)
又\(\because d|b , d|a\)
\(\therefore d | r\)
即 \(d | a\%b\), \(d\)为\(a\%b\)的一个因数.
又 \(\because d|b\)
\(\therefore d\) 为\(b\)与\(a\%b\)的一个公约数,
若\(d\)最大，则\(d\)为\(b\)与\(a\%b\)的最大公约数,
\(\therefore gcd(a, b) = gcd(b, a \% b)\) 得证
然后就可以递归求解gcd了

exgcd

求出\(a*x+b*y=c\)（a，b，c为常量）的一组解，时间复杂度\(log(a)\)
证明：
\(a*x+b*y=c\) 有整数解的充要条件是\(c\)整除\(gcd(a,b)\)
设\(gcd(a,b)=p\)
1.充分性：
\(a*x+b*y=c\)
\(a'*p*x+b'*p*y=c(a'=a/p)\)
\(p(a'*x+b'*y)=c;\)
因为\(x,y\)必须为整数
所以\(c\)必须整除\(p\)
2.必要性
使用欧几里得和数学归纳法可证明
首先\(b*x_1+(a \% b)*y_1=c\),有整数解，
则\(a*x_2+b*y_2=c\)有整数解
\(a*x_2+b*y_2\)
\(=b*x_1+(a \% b)*y_1\)
\(=b*x_1+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor*b)*y_1\)
\(=a*y_1+b*(x_1-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor*y_1)\)
然后就可以得到对应关系\(x_2=y_1,y_2=(1-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor)*y_1\)；
显然最后的\(p,0\)有解
所以求这个\(a*x+b*y=c\)整数解的过程只需要不断递归运行到底层即可
最后一层\(p*x+0*y=c\)的解为\(x=\frac {c}{p},y=0\);
之后再不断用关系\(x_2=y_1,y_2=(x_1-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor*y_1)\)推出上一层的解即可