洛谷P5437/5442 约定（概率期望，拉格朗日插值，自然数幂）

题目大意：$n$ 个点的完全图，点 $i$ 和点 $j$ 的边权为 $(i+j)^k$。随机一个生成树，问这个生成树边权和的期望对 $998244353$ 取模的值。

对于P5437：$1\le n\le 998244352,1\le k\le 10^7$。

对于P5442：$1\le n\le 10^4,\le k\le 10^7$。

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其实也是一道比较简单的题。（所以就应该把这题和上一道原题调个位置）

考虑一条边在生成树中出现的概率，由于一共有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 条边，一个生成树有 $n-1$ 条边，而每条边的概率相等，所以为 $\dfrac{2}{n}$。

那么开始推式子：（注：第三步是枚举 $i+j$）

$$\dfrac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(i+j)^k$$$$\dfrac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n(i+j)^k-\sum\limits^n_{i=1}(i+i)^k)$$

$$\dfrac{1}{n}(\sum\limits_{s=1}^{2n}s^k\min(s-1,2n+1-s)-2^k\sum\limits^n_{i=1}i^k)$$

$$\dfrac{1}{n}(\sum\limits_{s=1}^{n}s^k(s-1)+\sum\limits_{s=n+1}^{2n}s^k(2n+1-s)-2^k\sum\limits^n_{i=1}i^k)$$

$$\dfrac{1}{n}(\sum\limits_{s=1}^{n}s^{k+1}-\sum\limits_{s=1}^{n}s^{k}+(2n+1)\sum\limits_{s=n+1}^{2n}s^k-\sum\limits_{s=n+1}^{2n}s^{k+1}-2^{k}\sum\limits^n_{i=1}i^k)$$

$$\dfrac{1}{n}(2\sum\limits_{i=1}^{n}i^{k+1}-(2n+2+2^k)\sum\limits_{i=1}^{n}i^{k}+(2n+1)\sum\limits_{i=1}^{2n}i^k-\sum\limits_{i=1}^{2n}i^{k+1})$$

现在问题就是求 $f(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k$ 了。

由于 $f(n)-f(n-1)=n^k$，$f$ 的差值是个 $k$ 次多项式，所以 $f$ 是个 $k+1$ 次多项式。

那么可以拉格朗日插值。（以下内容的代码实现细节比较多，注意要控制复杂度不带 $\log$）

取 $k+2$ 个点为 $1$ 到 $k+2$，发现点值 $y_i$ 可以 $O(k)$ 计算。（$y_i=y_{i-1}+i^k$ 不能直接快速幂，不然带 $\log$。可以用欧拉筛筛出所有 $k$ 次方）

$$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{k+2}y_i\dfrac{\prod\limits^{k+2}_{j=1,j\ne i}(n-x_j)}{\prod\limits^{k+2}_{j=1,j\ne i}(x_i-x_j)}$$

这样拉格朗日插值公式中的分母就是两个阶乘相乘的形式，可以 $O(1)$。（预处理要注意控制复杂度）

代入一个数算时，先特判 $n\ge mod$（因为会调用到 $f(2n)$），此时 $f(n)=\lfloor\dfrac{n}{mod}\rfloor f(mod-1)+f(n\%mod)$。

否则先算出 $fac=\prod\limits_{i=1}^{k+2}(n-i)$。同时预处理出所有 $n-i$ 的逆元 $inv_i$。（不要一个个快速幂算，复杂度错的。要用 $O(k+\log)$ 的方式）

此时就有：

$$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{k+2}y_i\dfrac{fac\times inv_i}{(i-1)!(k-i+2)!(-1)^{k-i+2}}$$

已经可以 $O(k)$ 计算了。

时间复杂度 $O(k+\log)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=,mod=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
    char ch=getchar();int x=,f=;
    while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int n,k,ans,kp[maxn],k1p[maxn],pr[maxn/],pl,ky[maxn],k1y[maxn],fac[maxn],invfac[maxn],tfac[maxn],tinv[maxn];
bool vis[maxn];
int qpow(int a,int b){
    int ans=;
    for(;b;b>>=,a=1ll*a*a%mod) if(b&) ans=1ll*ans*a%mod;
    return ans;
}
int kcalc(int x){
    if(x<=k+){
        int ans=1ll*ky[x]*fac[x-]%mod*fac[k-x+]%mod;
        if((k-x)&) return ans?mod-ans:;
        else return ans;
    }
    if(x>=mod) return (kcalc(mod-)+kcalc(x%mod))%mod;
    tfac[]=;
    FOR(i,,k+) tfac[i]=1ll*tfac[i-]*(x-i)%mod;
    tinv[k+]=qpow(tfac[k+],mod-);
    ROF(i,k+,) tinv[i]=1ll*tinv[i+]*(x-i-)%mod;
    FOR(i,,k+) tinv[i]=1ll*tinv[i]*tfac[i-]%mod;
    int ans=;
    FOR(i,,k+) ans=(ans+1ll*ky[i]*tfac[k+]%mod*tinv[i])%mod;
    return ans;
}
int k1calc(int x){
    if(x<=k+){
        int ans=1ll*k1y[x]*fac[x-]%mod*fac[k-x+]%mod;
        if((k-x)&) return ans;
        else return ans?mod-ans:;
    }
    if(x>=mod) return (k1calc(mod-)+k1calc(x%mod))%mod;
    tfac[]=;
    FOR(i,,k+) tfac[i]=1ll*tfac[i-]*(x-i)%mod;
    tinv[k+]=qpow(tfac[k+],mod-);
    ROF(i,k+,) tinv[i]=1ll*tinv[i+]*(x-i-)%mod;
    FOR(i,,k+) tinv[i]=1ll*tinv[i]*tfac[i-]%mod;
    int ans=;
    FOR(i,,k+) ans=(ans+1ll*k1y[i]*tfac[k+]%mod*tinv[i])%mod;
    return ans;
}
int main(){
    n=read();k=read();
    fac[]=;
    FOR(i,,k+) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
    invfac[k+]=qpow(fac[k+],mod-);
    ROF(i,k+,) invfac[i]=1ll*invfac[i+]*(i+)%mod;
    kp[]=k1p[]=;
    FOR(i,,k+){
        if(!vis[i]){
            pr[++pl]=i;
            kp[i]=qpow(i,k);
            k1p[i]=qpow(i,k+);
        }
        FOR(j,,pl){
            if(i*pr[j]>k+) break;
            vis[i*pr[j]]=true;
            kp[i*pr[j]]=1ll*kp[i]*kp[pr[j]]%mod;
            k1p[i*pr[j]]=1ll*k1p[i]*k1p[pr[j]]%mod;
            if(i%pr[j]==) break;
        }
    }
    ky[]=k1y[]=;
    FOR(i,,k+) ky[i]=(ky[i-]+kp[i])%mod,k1y[i]=(k1y[i-]+k1p[i])%mod;
    FOR(i,,k+){
        ky[i]=1ll*ky[i]*invfac[i-]%mod*invfac[k-i+]%mod;
        if((k-i)&) ky[i]=ky[i]?mod-ky[i]:;
        k1y[i]=1ll*k1y[i]*invfac[i-]%mod*invfac[k-i+]%mod;
        if(!((k-i)&)) k1y[i]=k1y[i]?mod-k1y[i]:;
    }
    ans=*k1calc(n)%mod;
    ans=(ans-(2ll*n++qpow(,k))*kcalc(n)%mod+mod)%mod;
    ans=(ans+1ll*(*n+)*kcalc(*n)%mod)%mod;
    ans=(ans-k1calc(*n)+mod)%mod;
    ans=1ll*ans*qpow(n,mod-)%mod;
    printf("%d\n",ans);
}

---

upd：

以上是原版的做法。

毒瘤的神鱼又加强了这题……然后就……让我来做……

受宠若惊呢QwQ

不过真没想到自己也能想到加强版正解。

---

先考虑 $n$ 不为 $998244353$（以下简写为 $p$）的倍数。（因为式子前面有个 $\dfrac{1}{n}$，可能没有逆元）

那么 $\sum\limits_{i=1}^ni^k=\lfloor\dfrac{n}{p}\rfloor\sum\limits_{i=1}^{p-1}i^k+\sum\limits_{i=1}^{n\bmod p}i^k$。

写个高精除低精就没了。

然后考虑 $n$ 是 $p$ 的倍数。

$\sum\limits_{i=1}^ni^k=\dfrac{n}{p}\sum\limits_{i=1}^pi^k$。

此时原式：

$$\dfrac{1}{n}(\dots\sum\limits^n_{i=1}i^k+\dots\sum\limits^{2n}_{i=1}i^k)$$

$$\dfrac{1}{n}(\dfrac{n}{p}\dots\sum\limits^{p-1}_{i=1}i^k+2\dfrac{n}{p}\dots\sum\limits^{p-1}_{i=1}i^k)$$

$$\dfrac{1}{p}\dots\sum\limits^{p-1}_{i=1}i^k+\dfrac{2}{p}\dots\sum\limits^{p-1}_{i=1}i^k$$

此处取点值为 $0$ 到 $k+1$ 而不是上文中的 $1$ 到 $k+2$。

观察拉格朗日插值的式子，分子是有个 $x-x_j$ 的。那么当 $i=0$ 时，$y_i=0$，是 $p$ 的倍数。当 $i\ne 0$ 时，$x-x_0=x=p$，是 $p$ 的倍数。

那么只需要在分子中不乘上那个 $x-x_0=p$ 即可。就相当于求出了 $\frac{\sum\limits_{i=1}^pi^k}{p}$。

那么就做完了。

时间复杂度 $O(k+\log n)$。

（神鱼太毒瘤了……一道数论题我码了3.8K……码出了数据结构题的感觉……）

#define Orz_NaCly_Fish
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=,mod=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
    char ch=getchar();int x=,f=;
    while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int ndiv,nmod,k,ans,len,kp[maxn],k1p[maxn],pr[maxn/],pl,ky[maxn],k1y[maxn],fac[maxn],invfac[maxn],tfac[maxn],tinv[maxn];
char nstr[];
bool vis[maxn];
inline int add(int a,int b){return a+b<mod?a+b:a+b-mod;}
inline int sub(int a,int b){return a<b?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline int qpow(int a,int b){
    int ans=;
    for(;b;b>>=,a=mul(a,a)) if(b&) ans=mul(ans,a);
    return ans;
}
int kcalc(int x){
    if(x<=k+){
        int ans=mul(mul(ky[x],fac[x]),fac[k-x+]);
        if(!((k-x)&)) return ans?mod-ans:;
        else return ans;
    }
    if(x==mod){
        tfac[]=;
        FOR(i,,k+) tfac[i]=mul(tfac[i-],x-i);
        tinv[k+]=qpow(tfac[k+],mod-);
        ROF(i,k,) tinv[i]=mul(tinv[i+],x-i-);
        FOR(i,,k+) tinv[i]=mul(tinv[i],tfac[i-]);
        int ans=;
        FOR(i,,k+) ans=add(ans,mul(mul(ky[i],tfac[k+]),tinv[i]));
        return ans;
    }
    tfac[]=x;
    FOR(i,,k+) tfac[i]=mul(tfac[i-],x-i);
    tinv[k+]=qpow(tfac[k+],mod-);
    ROF(i,k,) tinv[i]=mul(tinv[i+],x-i-);
    FOR(i,,k+) tinv[i]=mul(tinv[i],tfac[i-]);
    int ans=;
    FOR(i,,k+) ans=add(ans,mul(mul(ky[i],tfac[k+]),tinv[i]));
    return ans;
}
int k1calc(int x){
    if(x<=k+){
        int ans=mul(mul(k1y[x],fac[x]),fac[k-x+]);
        if((k-x)&) return ans?mod-ans:;
        else return ans;
    }
    if(x==mod){
        tfac[]=;
        FOR(i,,k+) tfac[i]=mul(tfac[i-],x-i);
        tinv[k+]=qpow(tfac[k+],mod-);
        ROF(i,k+,) tinv[i]=mul(tinv[i+],x-i-);
        FOR(i,,k+) tinv[i]=mul(tinv[i],tfac[i-]);
        int ans=;
        FOR(i,,k+) ans=add(ans,mul(mul(k1y[i],tfac[k+]),tinv[i]));
        return ans;
    }
    tfac[]=x;
    FOR(i,,k+) tfac[i]=mul(tfac[i-],x-i);
    tinv[k+]=qpow(tfac[k+],mod-);
    ROF(i,k+,) tinv[i]=mul(tinv[i+],x-i-);
    FOR(i,,k+) tinv[i]=mul(tinv[i],tfac[i-]);
    int ans=;
    FOR(i,,k+) ans=add(ans,mul(mul(k1y[i],tfac[k+]),tinv[i]));
    return ans;
}
void init(){
    fac[]=;
    FOR(i,,k+) fac[i]=mul(fac[i-],i);
    invfac[k+]=qpow(fac[k+],mod-);
    ROF(i,k+,) invfac[i]=mul(invfac[i+],i+);
    kp[]=k1p[]=;
    FOR(i,,k+){
        if(!vis[i]){
            pr[++pl]=i;
            kp[i]=qpow(i,k);
            k1p[i]=qpow(i,k+);
        }
        FOR(j,,pl){
            if(i*pr[j]>k+) break;
            vis[i*pr[j]]=true;
            kp[i*pr[j]]=mul(kp[i],kp[pr[j]]);
            k1p[i*pr[j]]=mul(k1p[i],k1p[pr[j]]);
            if(i%pr[j]==) break;
        }
    }
    ky[]=k1y[]=;
    FOR(i,,k+) ky[i]=add(ky[i-],kp[i]),k1y[i]=add(k1y[i-],k1p[i]);
    FOR(i,,k+){
        ky[i]=mul(mul(ky[i],invfac[i]),invfac[k-i+]);
        if(!((k-i)&)) ky[i]=ky[i]?mod-ky[i]:;
        k1y[i]=mul(mul(k1y[i],invfac[i]),invfac[k-i+]);
        if((k-i)&) k1y[i]=k1y[i]?mod-k1y[i]:;
    }
}
int main(){
    scanf("%s",nstr+);k=read();
    len=strlen(nstr+);
    init();
    FOR(i,,len){
        ll tmp=10ll*nmod+nstr[i]-'';
        ndiv=add(mul(ndiv,),tmp/mod);
        nmod=tmp%mod;
    }
    if(nmod){
        int ktmp=kcalc(mod-),k1tmp=k1calc(mod-);
        int krem=kcalc(nmod),k1rem=k1calc(nmod);
        int kans=add(mul(ndiv,ktmp),krem),k1ans=add(mul(ndiv,k1tmp),k1rem);
        ans=mul(,k1ans);
        ans=sub(ans,mul(add(add(mul(nmod,),),qpow(,k)),kans));
        krem=kcalc(mul(nmod,)),k1rem=k1calc(mul(nmod,));
        kans=add(mul(add(mul(ndiv,),nmod>mod/),ktmp),krem),k1ans=add(mul(add(mul(ndiv,),nmod>mod/),k1tmp),k1rem);
        ans=add(ans,mul(*nmod+,kans));
        ans=sub(ans,k1ans);
        ans=mul(ans,qpow(nmod,mod-));
        printf("%d\n",ans);
    }
    else{
        int kans=kcalc(mod),k1ans=k1calc(mod);
        ans=mul(,k1ans);
        ans=sub(ans,mul(add(,qpow(,k)),kans));
        ans=add(ans,mul(,kans));
        ans=sub(ans,mul(,k1ans));
        printf("%d\n",ans);
    }
}