D. The Wu 解析(思維、二進位運算)

Codeforce 1017 D. The Wu 解析(思維、二進位運算)

今天我們來看看CF1017D

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題目

略，請直接看原題

前言

官方解答實在看不懂...之後還記得的話再補那個做法吧

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想法

只要注意到\(n\le12\)代表所有可能出現的數字\(\le\sum\limits_{i=0}^{11}2^i=2^{12}-1=4096-1\)，那就會注意到這題的\(m,q\le5\cdot10^5\)是假的，因為總共也才\(4096\)種字串，哪來的\(5\cdot10^5\)這麼多數字讓你問?

所以這題只需要把所有的詢問字串都窮舉一遍，並且直接計算「當前詢問字串與\(m\)個\(multiset\)裡的字串計算Wu值，每個值有多少個」儲存起來(只需要儲存Wu值\(\le100\)，因為\(k\le100\))，那麼之後每次詢問只需要\(O(100)\)就可以找到答案了(計算前綴和)。

實作細節:首先把\(multiset\)裡的元素都看成數字；\(cnt[i]=multiset\)中\(i\)的個數；\((s,t)\)的Wu值只和\(s,t\)哪些\(bit\)相同有關，\(wu[(s,t)兩個數字bit相同的位置標為1其他為0的數字]=Wu(s,t)\)

而要計算(s,t)兩個數字bit相同的位置標為1其他為0的數字只需要:\((s\widehat{}(\sim t))\&((1<<n)-1)=(s\widehat{}(\sim t))\&\sim-(1<<n)\)，其中\((1<<n)-1是用來只保留小於1<<n的bit\)，而\((1<<n)-1=\sim-(1<<n)\)是利用\(-k=\sim k+1\)

程式碼:

const int _n=15;
int t,n,m,q,w[_n],k,cnt[4096],ans[4096][110],wu[4096];
char s[_n];
main(void) {ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>n>>m>>q;rep(i,1,n+1)cin>>w[i];
  rep(i,0,1<<n)rep(j,0,n)wu[i]+=w[n-j]*((i&(1<<j))>0);
  rep(i,0,m){
    int num=0;cin>>(s+1);
    rep(j,0,n)num+=(s[n-j]-'0')*(1<<j);
    cnt[num]++;
  }rep(qu,0,1<<n)rep(ts,0,1<<n){
    ans[qu][wu[(qu^~ts)&~-(1<<n)]>100?101:wu[(qu^~ts)&~-(1<<n)]]+=cnt[ts];
  }while(q--){
    cin>>(s+1)>>k;
    t=0;rep(j,0,n)t+=(s[n-j]-'0')*(1<<j);
    int res=0;rep(i,0,k+1)res+=ans[t][i];
    cout<<res<<'\n';
  }
  return 0;
}

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