HDU4565 So Easy! —— 共轭构造、二阶递推数列、矩阵快速幂

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-4565

So Easy!

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 5525    Accepted Submission(s): 1841

Problem Description

　　A sequence S_n is defined as:

Where a, b, n, m are positive integers.┌x┐is the ceil of x. For example, ┌3.14┐=4. You are to calculate S_n.
　　You, a top coder, say: So easy! 

Input

　　There are several test cases, each test case in one line contains four positive integers: a, b, n, m. Where 0< a, m < 2¹⁵, (a-1)²< b < a², 0 < b, n < 2³¹.The input will finish with the end of file.

 

Output

　　For each the case, output an integer S_n.

 

Sample Input

2 3 1 2013
2 3 2 2013
2 2 1 2013

 

Sample Output

4
14
4

 

Source

2013 ACM-ICPC长沙赛区全国邀请赛——题目重现

 

Recommend

zhoujiaqi2010

题解：

1.因为：0< a，(a-1)²< b < a²,。当a>=1时， a-1<根号b<a，那么 0<(a-根号b)<1；当0<a<1时， 1-a<根号b<a，那么 那么 0<(a-根号b)<2*a-1<1。综上：0<(a-根号b)<1。所以0<(a-根号b)^n<1

2.这里假设b = 根号b，以方便描述。根据上述结论，那么可得：[(a+b)^n] = [(a+b)^n + (a-b)^n] = (a+b)^n + (a-b)^n 。

解释：

2.1 因为a-1<b<1，所以b必定是浮点数，那么(a+b)^n 也必定是浮点数，此时，再加上个大于0小于1的浮点数(a-b)^n，那么 [(a+b)^n + (a-b)^n] 有可能等于[(a+b)^n] ，也有可能等于[(a+b)^n] +1，这就要取决(a+b)^n的小数部分与(a-b)^n的小数部分之和是否大于1。

2.2 此时，就要将(a+b)^n+(a-b)^n展开进行分析。展开后可知，当b的指数为奇数时，正负抵消；当b的指数为偶数时，b^2k 为一个整数。综上：(a+b)^n+(a-b)^n为一个整数，即表明(a+b)^n的小数部分与(a-b)^n的小数部分之和刚好等于1，所以[(a+b)^n] = [(a+b)^n + (a-b)^n] = (a+b)^n + (a-b)^n 。

3.根据上述分析，问题转化为求：S[n] = (a+b)^n + (a-b)^n 。而这个式子可以看成是二阶齐次递推式的通项公式，可以根据通项公式反推回递推式，然后构造矩阵进行求解。具体如下：

以上来自：http://blog.csdn.net/ljd4305/article/details/8987823

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <string>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int INF = 2e9;
 const LL LNF = 9e18;
 //const int MOD = 1e9+7;
 const int MAXN = 1e6+;

 int MOD;
 const int Size = ;
 struct MA
 {
     LL mat[Size][Size];
     void init()
     {
         for(int i = ; i<Size; i++)
         for(int j = ; j<Size; j++)
             mat[i][j] = (i==j);
     }
 };

 MA mul(MA x, MA y)
 {
     MA ret;
     memset(ret.mat, , sizeof(ret.mat));
     for(int i = ; i<Size; i++)
     for(int j = ; j<Size; j++)
     for(int k = ; k<Size; k++)
         ret.mat[i][j] += 1LL*x.mat[i][k]*y.mat[k][j]%MOD, ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j]%MOD+MOD)%MOD;
     return ret;
 }

 MA qpow(MA x, LL y)
 {
     MA s;
     s.init();
     while(y)
     {
         if(y&) s = mul(s, x);
         x = mul(x, x);
         y >>= ;
     }
     return s;
 }

 int main()
 {
     LL a, b, n, m, f[];
     while(scanf("%lld%lld%lld%lld", &a,&b,&n,&m)!=EOF)
     {
         MOD = (int)m;
         f[] = ; f[] = *a;
         if(n<=)
         {
             printf("%lld\n", f[n]%MOD);
             continue;
         }

         MA s;
         memset(s.mat, , sizeof(s.mat));
         s.mat[][] = *a; s.mat[][] = b-a*a;
         s.mat[][] = ; s.mat[][] = ;

         s = qpow(s, n-);
         LL ans = (1LL*s.mat[][]*f[]%MOD+1LL*s.mat[][]*f[]%MOD+*MOD)%MOD;
         printf("%lld\n", ans);
     }
 }