【bzoj1025】游戏

【bzoj1025】游戏

题意

windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。

如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6

windy的操作如下 ：

1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 4 6

3 1 2 4 5 6

1 2 3 5 4 6

2 3 1 4 5 6

3 1 2 5 4 6

1 2 3 4 5 6

这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

\(1\leq N\leq 1000\)

分析

推荐一篇很清晰的题解：

http://www.cnblogs.com/phile/p/4473192.html

对于一个置换，我们找出它所有的循环节，那么排数即为循环节大小的最小公倍数+1。

所以我们的问题就是：设\(\sum_{i=1}^m a_i=n\)，求\(lcm_{i=1}^m(a_i)\)的不同取值的个数。

可以这样考虑这个问题：我们枚举所有\(lcm\)可能的取值\(k\)，然后判定这个取值能不能取得到。

将\(k\)进行分解：\(k=\prod_{i=1}^p {b_i}^{c_i}\)，那么这个值能取到，当且仅当\(\sum_{i=1}^p {b_i}^{c_i}\leq n\)。

原因：我们构造\(p\)个数，其中\(a_i={b_i}^{c_i}\)，剩下的\(n-\sum_{i=1}^p a_i\)个数，我们用\(1\)进行填充，所以能构造出来。

而若\(\sum\)大于n，那么一定构造不出来，因为取得到\({b_i}^{c_i}\)，意味着至少有一个数达到\({b_i}^{c_i}\)

换一种角度考虑。

我们进行分解后，\(b_i\)的取值个数并不多。

所以我们求出所有可能的\(b_i\)，设\(f[i][j]\)表示使用\(b_1,...,b_i\)的当前总和为\(j\)个方案数。

那么答案就是\(\sum f[t][0...n]\)，其中\(t\)为\(1\)到\(n\)中质数的个数。