[实变函数]4.2 Egrov 定理

1 一致收敛很重要, 但可惜的是很多时候不一致收敛. 比如 $$\bex f_n(x)=x^n\to f(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&x\in [0,1)\\ 1,&x=1 \ea},\quad x\in [0,1]; \eex$$ 但 $f_n$ 在 $[0,1-\delta]$ 上一致收敛!

本节的内容就是把这种现象普适化.

2 (Egrov 定理) 设

(1) $mE<\infty$;

(2) $\ae$ 有限的可测函数列 $\sed{f_n}$ $\ae$ 收敛于 $\ae$ 有限的函数 $f$.  则 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ E_\delta\subset E,\ mE_\delta<\delta,\st f_n\rightrightarrows f\mbox{ 于 }E\bs E_\delta\mbox{ 上}. \eex$$

证明: 作 $$\bex E_0=\cup_{n=0}^\infty E[|f_n|=+\infty]\cup E[|f|=+\infty], \eex$$

则 $mE_0=0$. 用 $E\bs E_0$ 替换 $E$, 不妨设 $$\bex f_n,f\mbox{ 是有限函数};\quad f_n\to f,\ae \mbox{ 于 }E. \eex$$

于是 $$\beex \bea &\quad 0=m\sez{\lim_{n\to\infty}|f_n-f|\neq 0\mbox{ 或极限不存在}}\\ &\quad\ \,=m\sex{\cup_{k=1}^\infty     \cap_{N=1}^\infty     \cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\ m\sex{\cap_{N=1}^\infty     \cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}=0\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\ \lim_{N\to\infty} m\sex{\cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq\frac{1}{k}}}=0\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\     \forall\ \delta>0,\ \exists\ N_k\in\bbZ^+,\ m\sex{\cup_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}<\frac{\delta}{2^k}\\ &\ra \forall\ \delta>0,\ m\sex{\cup_{k=1}^\infty \cup_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq\frac{1}{k}}}<\sum_{k=1}^\infty \frac{\delta}{2^k}=\delta\\ &\ra E_\delta=\cap_{k=1}^\infty \cap_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|<\frac{1}{k}}\mbox{ 为所求}. \eea \eeex$$

3 Egrov 定义的意义: $$\bex \ae\mbox{ 收敛}\ra \mbox{``基本上'' 一致收敛}. \eex$$

4 注记:

(1) $mE=+\infty$ 时, Egrov 定理不成立. 比如     $$\bex     f_n(x)=\chi_{[n,n+1]}(x),\quad x\in E=\bbR.     \eex$$

(2) Egrov 定理的逆定理在 $mE\leq+\infty$ 时成立. 这是作业.

5 Egrov 定理的推广: 设

(1) $mE<+\infty$;

(2) $\ae$ 有限的可测函数列 $\sed{f_n}$ $\ae$ 收敛于 $+\infty$.  则 $$\bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ E_\delta\subset E,\ mE_\delta<\delta,\st f_n\rightrightarrows +\infty,\mbox{ 于 }E\bs E_\delta\mbox{ 上}. \eex$$

这是课堂练习.

6 作业: Page 94 T 7.