为什么Fourier分析？

本文旨在给出Fourier分析的几个动机。

波动方程

考虑一维的波动方程最简单的边值问题$$u(x,t), x\in [0,L], t\in [0,\infty)\qquad \begin{cases}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\qquad (\textrm{波动方程})\\ u(x,0)=\varphi(x), u_t(x,0)=\psi(x) \qquad (\textrm{初值条件})\\ u(0,t)=u(L,t)=0 (\textrm{边值条件})\end{cases}$$这代表一根长为$L$的静止的弹性绳两端施加一次波动得到的振动轨迹。物理中一个非常重要的想法是分离变量法，即这里$u$是关于$x,t$的函数，假设$u(x,t)=X(x)T(t)$先解出一系列解，再看能够将初界条件拼凑出来。如此带入方程便化为$$X(x)T''(t)-a^2 X''(x)T(t)=0\quad =\!\!(\textrm{将变量分离})\!\!\Rightarrow \qquad \frac{T''(t)}{a^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}:=-\lambda $$这样变成常微分方程好解很多，得到$$\begin{cases}X(x)=A\cos \sqrt{\lambda}x +B\sin \sqrt{\lambda} x\\ T(t)=C\cos \sqrt{\lambda}at +B\sin \sqrt{\lambda} at\end{cases}\quad =\!\!(\textrm{边值条件})\!\!\Rightarrow\quad \begin{cases}u_k(x,t)=\sin\frac{k\pi}{L}x\, \cos \frac{k\pi a}{L}t\\ v_k(x,t)=\sin\frac{k\pi}{L}x\,\sin \frac{k\pi a}{L}t\end{cases}$$下面的问题在于能否拼凑出初值条件，即$$u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty\left(A_k\cos\frac{k\pi a}{L}t +B_k\sin \frac{k\pi a}{L}t \right)\sin \frac{k\pi}{L}x\qquad \textrm{是否使得}\begin{cases}u(x,0)=\sum_{k=1}^\infty A_k\sin \frac{k\pi}{L}x=\phi(x)\\ u_t(x,0)=\sum_{k=1}^\infty B_k\sin \frac{k\pi}{L}x=\psi(x)\end{cases}$$通过单位化，问题化成了对怎样的$\varphi$, $\varphi(x)$可以写成形如$\sum_{k=1}^\infty A_k\sin nx$的级数？

更一般地，在更多的偏微分方程的计算中要求我们回答这样的问题

对怎样的$\varphi$, $\varphi(x)$可以写成形如$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \left(A_k\sin nx+B_k\cos nx\right)$的级数?

通过引入复数，予以简单的代还问题还可以表述为

对怎样的$\varphi$, $\varphi(x)$可以写成形如$\displaystyle \sum_{k=-\infty}^\infty a_k\mathrm{e}^{2\pi i nx}$的级数?

当然，这里无穷级数我们假定是绝对收敛，换言之，在计数测度下收敛。

反转公式

在数论中关于指数和有很多富于技巧的公式，最为基本的公式是如下的正交关系（证明是简单的，利用等比数列的求和公式）$$a,b\in \mathbb{Z}\qquad \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{\frac{2\pi i a}{n}i}\overline{\mathrm{e}^{\frac{2\pi i b}{n}i}}= \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{\frac{2\pi i a}{n}i}{\mathrm{e}^{-\frac{2\pi i b}{n}i}}=\begin{cases} 1& a\equiv b \bmod n \\ 0 & \textrm{其他情形}\end{cases}\qquad \overline{*}\textrm{代表共轭}$$这件事也可以用矩阵说明$$A=\left(\mathrm{e}^{\frac{2\pi}{n}ij}\right)_{\begin{subarray}{l}1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq n\end{subarray}}\quad B=A\textrm{的共轭转置}\qquad AB=\textrm{单位阵}$$这样，例如对于同余方程$f(X)\equiv 0\mod n$，其解的个数为$\sum_{i,j=1}^n \mathrm{e}^{\frac{2\pi}{n}f(i)j}$。除此之外，有如下的反转公式$$x_a=\sum_{b=1}^n y_b \mathrm{e}^{\frac{2\pi a}{n}b}\iff y_b=\sum_{a=1}^n x_a\mathrm{e}^{\frac{-2\pi b}{n}a}$$于此有丰富的理论，这种技巧被称为指数和。以上正交关系的连续版本是如下的$$a,b\in \mathbb{Z}\qquad \int_{t=0}^{1}\mathrm{e}^{2\pi i a t}\overline{\mathrm{e}^{2\pi b t}}\mathrm{d}t=\begin{cases}1 & a=b \\ 0 & a\neq b\end{cases}$$因此如果$\varphi(x)$可以写成形如$\displaystyle \sum_{k=-\infty}^\infty a_k\mathrm{e}^{2\pi i nx}$的级数，那么必定有$$\int_{0}^1\varphi(x)\overline{\mathrm{e}^{2\pi i n x}}\mathrm{d}x = \int_0^1\sum_{i=-\infty}^\infty a_k\mathrm{e}^{2\pi i k x}\overline{\mathrm{e}^{2\pi n t}}\mathrm{d}x= \sum_{i=-\infty}^\infty \int_0^1a_k\mathrm{e}^{2\pi i k x}\overline{\mathrm{e}^{2\pi n t}}\mathrm{d}x=a_n$$

热导方程

既然积分可以和求和类比，那么假定一个函数可以写成$\varphi(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int \psi(x)\mathrm{e}^{2\pi i x \xi}\mathrm{d}x$，类比上面的反转公式应当有$$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int \varphi(\xi)\mathrm{e}^{-2\pi i x \xi}\mathrm{d}\xi$$这被称为$\varphi$的Fourier变换。二者的互逆关系就是著名的Fourier反转公式，不过证明不能直接照搬，因为连续函数空间上不存在单位元，需要先逼近单位元。利用这件事，我们可以解热导方程的初值问题$$u(x,t), t>0\qquad \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t) \qquad (\textrm{热导方程})\\ u(x,0)=\varphi(x) \qquad (\textrm{初值问题})\end{cases}$$对方程两边同时对$x$作Fourier变换，注意到$u$的Fourier变换如果是$\hat{u}$，那么$\frac{\partial u}{\partial t}$的Fourier变换是$\frac{\partial \hat{u}}{\partial t}$，$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$的Fourier变换是$[\xi\mapsto a^2\xi^2\hat{u}(\xi)]$，故方程化为$$\hat{u}(\xi,t), t>0\qquad \begin{cases} \frac{\partial \hat{u}}{\partial t}-a^2\xi^2 \hat{u}=\hat{f}(\xi,t) \qquad (\textrm{热导方程})\\ \hat{u}(\xi,0)=\hat{\varphi}(\xi) \qquad (\textrm{初值问题})\end{cases}$$其中$\hat{*}$表示Fourier变换，这是一个常微分方程，可以解得$$\hat{u}(\xi,t)=\hat{\varphi}(\xi)\mathrm{e}^{-a^2\xi^2 t}+\int_0^t \hat{f}(\xi,\tau)\mathrm{e}^{-a^2\xi^2(t-\tau)}\mathrm{d}\tau$$两边同时施加以Fourier逆变换，得到$$u(x,t)=\int \varphi(\xi)K(x-\xi,t)\mathrm{d}\xi +\int_0^t\int f(\xi,\tau)K(x-\xi,t-\tau)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\tau\qquad K(x,t)=\begin{cases}\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{4a^2t}}& t\geq 0 \\ 0 & t< 0\end{cases}$$这样就解出了热导方程的初值问题。

Lapalace变换

与之类似的，能否把幂级数的加法也类比为积分？写出来应该是$y\mapsto \int_0^\infty f(x)y^x\mathrm{d}x$，这样未免难看了些，作代换$y=\mathrm{e}^{-z}$得到$$f\mapsto \left[z\mapsto \int_0^\infty f(x)\mathrm{e}^{-xz}\mathrm{d}x\right]$$我们会发现这和Fourier变换相差无几，这就是Lapalace变换。类似地，Dirichlet级数也可以推广，写出来应当是$y\mapsto \int_0^\infty \frac{f(x)}{x^y}\mathrm{d}x$，通过一些调整即可得到Mellin变换$f\mapsto \int_0^\infty x^{s-1}f(x)\mathrm{d}x$。

表示论

群表示的理论非常古老，其基本定义是一个群$G$作用在线性空间$V$上，使得每个$g$的作用都是线性的，且$g(hv)=(gh)v$。

我们更多时候要将一个群表示理解为一个环的作用，对于群$G$，可以定义群环$$\mathbb{C}[G]=\left\{\sum_{g\in G}a_gg(\textrm{有限和}):a_g\in \mathbb{C}\right\}\qquad ag\cdot bh=(ab)\cdot (gh)$$当中的加法是形式地加法，不难验证这是一个环，这样$\sum a_g g$在$V$上的作用就是$v\mapsto \sum a_g (gv)$，这实际上把群表示和$\mathbb{C}[G]$-模等同起来。但是用这种方法描述连续的情形未免太过粗糙，我们仔细观察群环的定义，当中一个元素无非是一个函数$G\to \mathbb{C}$，且在绝大多数点处都为$0$，其乘法$$\left(\sum_{g\in G}a(g)g\right)\left(\sum_{g\in G}b(g)g\right)=\sum_{g\in G}\left(\sum_{g=hk}a(h)b(k)\right)g\qquad \textrm{即}a\cdot b=\left[g\mapsto \sum_{g=hk}a(h)b(k)\right]$$这就是所谓的卷积。这诱使我们对于拓扑群$G$某个允许做卷积$$f*g(x)=\int_G f(y)g(xy^{-1})\mathrm{d}y$$函数空间，将其理解为群环。

特征理论

熟知特征理论的出现令有限群的复表示基本被人们理解清楚。特征理论也出现了特征的正交关系。对于有限群$G$的不可约复表示$V,W$，假设其特征为$\varphi,\psi$则有如下的正交关系$$\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\psi(g)\overline{\varphi(g)}=\begin{cases} 1 & V\cong W \\ 0 & V,W\textrm{不同构}\end{cases}$$对于紧致Lie群，此时要求表示是光滑的。因为其上具有容易构造的Harr测度$\mathrm{d}g$，从而也容易类比得到如下的正交关系，对于不可约表示$V,W$，$$\int\psi(g)\overline{\varphi(g)}\mathrm{d}g =\begin{cases} 1 & V\cong W \\ 0 & V,W\textrm{不同构}\end{cases}$$从而将有限群囊括其中。

对于Abel群$G$而言，不可约表示的特征即$G\to (\mathbb{C},\cdot)$的同态（因为任何不可约特征都是1维的），从而一定落在单位圆里。而在计算中，会发现$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的全体特征就是$m\mapsto \mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{n}m}$，复平面单位圆周$\mathbb{S}$的全体特征就是$z\mapsto z^n$，假如将$\mathbb{S}$通过指数映射$x\mapsto \mathrm{e}^{2\pi ix}$理解为$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，又可以将特征写成$x\mapsto \mathrm{e}^{2\pi n x}$，因此可以用表示论统一上述的反转公式。另外，需要注意，全体$G\to (\mathbb{C},\cdot)$的同态构成一个Abel群，这被称为$G$的对偶群。

再回头采用群环的角度看特征，我们会发现Abel群的特征$G\to(\mathbb{C},\cdot)$通过加法自然地延展到$\mathbb{C}[G]$上，成为一个环同态$\mathbb{C}[G]\to \mathbb{C}$，当然，这也反过来决定了特征。

一般地，对于局部紧致的Abel拓扑群$G$，虽然有Harr测度$\mathrm{d}g$，但是并没有紧致情况那么好的表示理论，但是我们也可以从这个角度出发，对其谈论特征，不难证明，任何同态$(L^1(G),+,\textrm{卷积})\to \mathbb{C}$一定形如$$f\mapsto \int_G f h \mathrm{d}g$$，其中$h$是$G$到单位圆周的连续群同态。且这样的同态可以具有拓扑使得其也是局部紧致的Abel拓扑群，这也被称为对偶群。不难经过计算发现

$\mathbb{R}$到单位圆周的群同态一定形如$x\mapsto \mathrm{e}^{2\pi i \xi x}$，其中$\xi$是一个实数，这样实际上我们得到$\mathbb{R}$对偶群和$\mathbb{R}$同构。
$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$到单位圆周的群同态一定形如$x\mapsto \mathrm{e}^{2\pi i n x}$，其中$n$是一个整数，这样实际上我们得到$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$对偶群和$\mathbb{Z}$同构。
$\mathbb{Z}$到单位圆周的群同态一定形如$n\mapsto \mathrm{e}^{2\pi i n x}$，其中$x$是一个实数，这样实际上我们得到$\mathbb{Z}$对偶群和$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$同构。

对于局部紧致Abel群$G$，可以定义Fourier变换$$\mathcal{F}: L^1(G)\longrightarrow L^1(G\textrm{的对偶群}) \qquad f\longmapsto \left[h\mapsto \int f(x)\overline{h(x)}\mathrm{d}x\right]$$这就揭示了Fourier级数和Fourier变换的内在联系。因为Fourier展开是将$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$的函数，即周期函数对应到$\mathbb{Z}$函数。Fourier级数是将$\mathbb{Z}$的函数对应$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$的函数。Fourier变换则是将$\mathbb{R}$的函数对应到$\mathbb{R}$的函数。

至此，所有Fourier反转公式是否成立的问题转化到对偶群的对偶群是否能够回到自身的问题上，这就是著名的Pontryagin对偶定理。

参考资料

熊锐常微分方程
熊锐偏微分方程
Conway A Course in Functional Analysis
Bröcker & tom Dieck Representations of Compact Lie Groups