题解-HNOI2017 抛硬币

Problem

loj2023

题意概述：甲抛掷 $a$ 次硬币，乙抛掷 $b$ 次硬币，问有多少种情况甲正面向上的次数比乙多，答案对 $10^k$ 取模

对于 $10\%$ 的数据，$a,b\le 20$；

对于 $30\%$ 的数据，$a,b\le 100$；

对于 $70\%$ 的数据，$a,b\le 100000$，其中有 $20\%$ 的数据满足 $a=b$；

对于 $100\%$ 的数据，$1\le a,b\le {10}^{15}, b\le a\le b+10000, 1\le k\le 9$，数据组数小于等于 $10$

10分

枚举俩人的抛掷方式，存下来合并后统计（没有存在的意义） $O(2^a+2^b+ab)$

30分

$\sum_{i=1}^a\binom ai\sum_{j=0}^{\min(b,i-1)}\binom bj$，组合数需预处理 $O(ab)$

+20分

由于整个游戏是绝对公平的，即甲赢的概率与乙相当，考虑所有情况减去平局再除以$2$，得到 $\frac {2^{a+b}-\sum_{i=0}^a\binom ai^2}2=\frac {2^{a+b}-\binom {2a}a}2$

70分

考虑预处理 $f(i)=\sum_{j=0}^{\min(b,i-1)}\binom bj$，再枚举 $i$ 求和 $O(a+b)$

（+20分与70分部分由于模数非质数则需crt或将阶乘拆解成$k\cdot 2^x\cdot 5^y$的形式进行模拟除法）

100分

由+20做法可扩展，只需再加上甲赢且对称局面乙赢不了的情况再整体除以$2$即可，关键在于求新加的这个东西

设甲抛掷 $a$ 次，得 $x$ 次正面；乙抛掷 $b$ 次，得 $y$ 次正面

则当前情况甲赢，且对称情况乙赢不了（对称情况可以是平局）可以列出式子

\[\begin{cases}
x>y\\
a-x\geq b-y
\end{cases}
\]

已知 $a,b$，解出 $0<x-y\leq a-b$，则这一部分的答案已经可以表示为

\[\sum_{y=0}^b\sum_{x=y+1}^{y+(a-b)}\binom ax\binom by
\]

由于 $a,b$ 都很大，但 $a-b\leq 10^4$，从此入手，将其提出来

\[\sum_{t=1}^{a-b}\sum_{y=0}^b\binom a{y+t}\binom by
\]

考虑之前+20的做法中$\sum\binom ai^2=\sum\binom ai\binom a{a-i}=\binom {2a}a$，这里后面$\sum \binom a{y+t}\binom by=\sum \binom a{y+t}\binom b{b-y}=\binom {a+b}{(y+t)+(b-y)}=\binom {a+b}{b+t}$

则后面答案为 $\sum_{t=1}^{a-b}\binom {a+b}{b+t}$

则整体答案为

\[\frac {2^{a+b}-\binom {2a}a+\sum_{t=1}^{a-b}\binom{a+b}{b+t}}2
\]

由于需要模合数，需要使用$\mathsf {exLucas}$解决……

至于如何除以 $2$，可以将模数翻倍，最后直接除以 $2$

然后就TLE爆零了分数不如暴力70，除此之外，还需要注意一些卡常技巧（从$60s+$到$3s$的华丽蜕变)

模数优化

由于模数只能是$10^k$，所以可以考虑只模$10^9$，最后再模$10^k$，可以保证模数唯一，从而预处理模数的质因子分解

模数的质因子只有 $2$ 和 $5$，可以储存下来，对应的 $p^k$ 分别为 $2^{10},5^9$

（到这里能拿 $30$ 分啦）

调用优化

（优化效果特明显）

将两个模数开两个namespace，每个namespace内部由于模数相等，不需要传递模数

（到这里能拿 $70$ 分啦）

组合数

由于 $\binom nm = \binom n{n-m}$

而得到的式子 $\sum_{t=1}^{a-b}\binom{a+b}{b+t}$ 中以 $\frac {a+b}2$ 为中心轴，两侧组合数对称，只要算一半即可（中间值特判一下）

Fac优化

由于每次询问的组合数下标都是 $a+b$，所以可以在每组数据中预处理出 $Fac(a+b)$，就不用每次重新调用了

预处理

$p^k$以内除去$p$的阶乘是可以预处理的，同样 $p^k$ 也是可以预处理的

至于是否要预处理所有除去 $p$ 的阶乘，由于询问次数较少，预处理耗时不比直接询问快

（到这里能拿 $100$ 分啦）

玄学优化

（优化效果最明显）

若在函数 C(ll n,ll m,ll pi,ll pk)中，算出的 $k$ 若比 $pk$ 的幂次大，则直接返回 0ll

HN的题真毒，考场上遇到这题还是不要写正解，写了也被卡常

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int p = 2e9;

const int pw2 = 1024;

const int pw5 = 1953125;

int fac[2][pw5+2];

int Pw [2][pw5+2];

void exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){

	if(!b){x = 1, y = 0; return ;}

	exgcd(b,a%b,y,x); y -= a/b*x;

}

inline ll inv(ll n,ll mod){

	ll x,y; exgcd(n,mod,x,y);

	return (x+mod)%mod;

}

namespace Lucas2{

	const int pi = 2;

	const int pk = pw2;

	ll k_n;int Fac_n;

	inline ll inv(ll n){ll x,y; exgcd(n,pk,x,y);return (x+pk)%pk;}

	inline ll qpow(ll A,ll B){ll res(1ll);while(B){if(B&1)res=res*A%pk;A=A*A%pk,B>>=1;}return res;}

	ll Fac(ll n){

		if(!n) return 1ll;

		ll res = 1ll;

		res = fac[0][pk];

		res = qpow(res,n/pk);

		res = res * fac[0][n%pk]%pk;

		return res * Fac(n/pi)%pk;

	}

	inline ll C(ll n,ll m){

		ll k = k_n;

		for(ll i = m; i; i/=pi) k -= i/pi;

		for(ll i=n-m; i; i/=pi) k -= i/pi;

		if(k>=10) return 0ll;

		ll d0 = Fac_n;

		ll d1 = Fac(m);

		ll d2 = Fac(n-m);

		return d0 * inv(d1)%p * inv(d2)%p * Pw[0][k]%pk;

	}

	inline ll CRT(ll b){return b * inv(p/pk)%p * (p/pk)%p;}

	inline void pre(ll n){

		Fac_n = Fac(n),k_n = 0ll;

		for(ll i = n; i; i/=pi)k_n += i/pi;

	}

}

namespace Lucas5{

	const int pi = 5;

	const int pk = pw5;

	ll k_n;int Fac_n;

	inline ll inv(ll n){ll x,y; exgcd(n,pk,x,y);return (x+pk)%pk;}

	inline ll qpow(ll A,ll B){ll res(1ll);while(B){if(B&1)res=res*A%pk;A=A*A%pk,B>>=1;}return res;}

	ll Fac(ll n){

		if(!n) return 1ll;

		ll res = 1ll;

		res = fac[1][pk];

		res = qpow(res,n/pk);

		res = res * fac[1][n%pk]%pk;

		return res * Fac(n/pi)%pk;

	}

	inline ll C(ll n,ll m){

		ll k = k_n;

		for(ll i = m; i; i/=pi) k -= i/pi;

		for(ll i=n-m; i; i/=pi) k -= i/pi;

		if(k>=9) return 0ll;

		ll d0 = Fac_n;

		ll d1 = Fac(m);

		ll d2 = Fac(n-m);

		return d0 * inv(d1)%p * inv(d2)%p * Pw[1][k]%pk;

	}

	inline ll CRT(ll b){return b * inv(p/pk)%p * (p/pk)%p;}

	inline void pre(ll n){

		Fac_n = Fac(n),k_n = 0ll;

		for(ll i = n; i; i/=pi)k_n += i/pi;

	}

}

ll exLucas(ll n,ll m){

	ll res = 0ll;

		res += Lucas2::CRT(Lucas2::C(n,m));

		res += Lucas5::CRT(Lucas5::C(n,m));

	return res%p;

}

char ss[10];

void print(int x,int pp){

	x%=(int)pow(10,pp);

	ss[0] = '%', ss[1] = '0';

	sprintf(ss+2,"%dd\n",pp);

	printf(ss,x);

}

void prework(int a,int b){

	int*arr=fac[a==5];

	int*trr= Pw[a==5];

	arr[0]=trr[0]=1;

	for(int i=1;i<=b;++i){

		trr[i] = (ll)trr[i-1]*a%b;

		arr[i] = arr[i-1];

		if(i%a)arr[i]=(ll)arr[i]*i%b;

	}

}

inline ll qpow(ll A,ll B){

	ll res(1ll);while(B){

		if(B&1) res = res*A%p;

		A = A*A%p, B>>=1;

	}return res;

}

int main(){

	ll a,b;int pp;

	prework(2,pw2);

	prework(5,pw5);

	while(~scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&pp)){

		ll res = qpow(2,a+b);

		Lucas2::pre(a+b);

		Lucas5::pre(a+b);

//		res = (res - exLucas(a+b,a)+p)%p;

//		for(int i=1;i<=a-b;++i)	res = (res + exLucas(a+b,b+i))%p;

		if(a == b){

			res = (res - exLucas(a+b,a)+p)%p;

			print(res>>1,pp); continue;

		}

		for(ll i=(a+b-1>>1);i!=b;--i)

			res = (res + 2ll*exLucas(a+b,i))%p;

		if(0 == ((a+b)&1))

			res = (res + exLucas(a+b,a+b>>1))%p;

		print(res>>1,pp);

	}

	return 0;

}